热门试卷

（Ⅰ）∵kAB=-1，kBC=1，∴kAB⋅kBC=-1，

∴AB⊥BC，∴△ABC是直角三角形…3分

（Ⅱ）|AB|==，|BC|==3

∴三角形ABC的面积为：S=|AB|•|BC|=××3=3（平方单位）…

（Ⅲ）A关于x轴的对称点为D（0，-1），连CD交x轴于P点，则P使|PC|-|PA|最大．

设P（x，0），由C，D，P三点共线，则KCD=KDP⇒=⇒x=3

故P点的坐标为P（3，0）…（10分）

（1）将点P（m，-1）代入两直线方程得：m4-o+1=0&1bsp;和 4m-m-1=0，

解得 m=1，1=7．

（4）由 l1∥l4&1bsp;得：m4-o×4=0，m=±4，

又两直线不能重合，所以有 o×（-1）-m1≠0，对应得 1≠4m，

所以当 m=4，1≠-4 或 m=-4，1≠4 时，l1∥l4．

（3）当m=0时直线l1：y=-和 l4：x=，此时，l1⊥l4，

当m≠0时此时两直线的斜率之积等于，显然 l1与l4不垂直，

所以当m=0，1∈R时直线 l1&1bsp;和 l4垂直．

∵直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，

∴A（6，0）、B（0，3），∴AB的中点为C（3，），

且AB的斜率等于 =-，故AB线段垂直平分线的斜率等于2，

故AB线段垂直平分线的方程为y-=2（x-3），即4x-2y-9=0，

故AB线段垂直平分线的方程为4x-2y-9=0．

（1）由顶点C在直线x-y+5=0上，可设顶点C （m，m+5），又BC边上的高所在的直线方程为5x-2y-3=0，

∴BC的斜率等于-，即 =-，∴m=-1，∴C（-1，4）．

（2）∵AB的斜率等于=，BC的斜率等于 =-，AC的斜率等于 =-，

任意两边的斜率之积都不等于-1，故△ABC不是直角三角形．

由 解得，∴p（0，2）．

（1）由两点的坐标求得斜率为 kl=-，由点斜式求得直线方程为y=-x+2，即 x+2y-4=0．

（2）所求直线的斜率为 k2=-，由点斜式求得直线方程为y=-x+2，即4x+3y-6=0．

由所求直线能与坐标轴围成三角形，

则所求直线在坐标轴上的截距不为0，

故可设该直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b，则该直线方程为+=1，可得斜率为-，

又该直线垂直于直线3x-4y-7=0，得到该直线的斜率为-，则-=-即=；

且该直线与两坐标轴构成周长为10的三角形得到|a|+|b|+=10，

联立，

解得：或，所以所求直线方程为+=1或+=1，

化简得：4x+3y-10=0或4x+3y+10=0．

设所求的直线方程为2x+3y+k=0，由它过2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点（2，1），

∴4+3+k=0，∴k=-7，故所求的直线方程为 2x+3y-7=0，

故答案为 2x+3y-7=0．

①∵B（6，7），C（0，3）．

∴直线BC的斜率kAB==

故BC边上的高所在直线的斜率k=-

设BC边上的高所在直线的方程为y=-x+b

∵A（4，0），

解得b=6

故y=-x+6

即3x+2y-12=0

②∵B（6，7），C（0，3）．

∴BC边上的中点为（3，5）

∵A（4，0），

则BC边上的中线所在的直线方程为=

即5x+y-20=0

（1）根据题意有，，

解得交点坐标（-1，-1）

（2）根据题意，所求直线的斜率为3

所求直线方程为y+1=3（x+1），

即3x-y+2=0．

联立方程得，交点为（0，2）（2分）

（1）∵直线l与直线5x+3y-6=0垂直，故可设3x-5y+m=0（1分）

将（0，2）代入方程得m=10，∴所求直线l的方程为3x-5y+10=0（2分）

（2）设直线l的方程为y=kx+2，即kx-y+2=0，（1分）

由=，解得k=1或k=-3；（2分）

故所求直线l方程为x-y+2=0或3x+y-2=0；（2分）

（I）⇒Q为PN的中点且GQ⊥PN⇒GQ为PN的中垂线⇒|PG|=|GN|

∴|GN|+|GM|=|MP|=6，故G点的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，其长半轴长a=3，半焦距c=，

∴短半轴长b=2，∴点G的轨迹方程是+=1（5分）

（II）因为=+，所以四边形OASB为平行四边形

若存在l使得||=||，则四边形OASB为矩形∴•=0

若l的斜率不存在，直线l的方程为x=2，

由得∴•=＞0，与•=0矛盾，

故l的斜率存在．（7分）

设l的方程为y=k（x-2），A（x1，y1），B（x2，y2）

由⇒(9k2+4)x2-36k2x+36(k2-1)=0

∴x1+x2=，x1x2=①

y1y2=[k（x1-2）][k（x2-2）]=k2[x1x2-2(x1+x2)+4]=-②（9分）

把①、②代入x1x2+y1y2=0得k=±

∴存在直线l：3x-2y-6=0或3x+2y-6=0使得四边形OASB的对角线相等．

（I）由x2=4y可得抛物线焦点坐标为（0，1），∴b=1，

又∵e=，∴=，∵a2=b2+c2，∴a2=4，

∴=，

∴椭圆C的方程为+y2=1，圆O的方程为x2+y2=5．

（Ⅱ）∵过点P（0，）的直线l与椭圆C在第一象限内只有一个公共点，

∴直线l的斜率存在，设l的方程为y=kx+，k＜0

由，得x2+4(kx+)2=4，

即（1+4k2）x2+8kx+16=0，

则△=(8k)2-64(1+4k2)=0，

∴k2=1，又k＜0，k=-1，

∴直线l方程为y=-x+，

圆心O到直线l方程为y=-x+，

圆心O到直线l的距离d==，

∴直线l被圆O截得的弦长为2=．

 （Ⅲ）证明：若点M的坐标为（2，1），（2，-1），（-2，-1），（-2，1），

则过这四点分别作满足条件的直线l1，l2，

若一条直线斜率为0，则另一条斜率不存在，则l1⊥l2

若直线l1，l2斜率都存在，则设过M与椭圆只有一个公共点的直线方程为y-y0=k（x-x0），

由，得x2+4[kx+（y0-kx0）]2=4，

即（1+4k2）x2+8k（y0-kx0）•x+4（y0-kx0）2-4=0，

则△=[8k（y0-kx0）]2-4（1+4k2）[4（y0-kx0）2-4]=0，

化简得（4-x02）k2+2x0y0k+1-y02=0，

∵x02+y02=5，

∴（4-x02）k2+2x0yk+x02-4=0，

设l1，l2的斜率分别为k1，k2，因为l1，l2与椭圆都只有一个公共点，

所以k1，k2满足（4-x02）k2+2x0yk+x02-4=0，

∴k1•k2==-1，

∴l1⊥l2．