- 直线与方程
- 共7398题
如图，在矩形ABCD中，已知AB=3，AD=1，E、F分别是AB的两个三等分点，AC，DF相交于点G，建立适当的平面直角坐标系：
（1）若动点M到D点距离等于它到C点距离的两倍，求动点M的轨迹围成区域的面积；
（2）证明：E G⊥D F．
正确答案
（1）以A为原点，AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，则A（0，0），B（3，0），C（3，1），D（0，1），E（1，0），F（2，0）．…（1分）
设M（x，y），由题意知|MD|=2|MC|…（2分）
∴
两边平方化简得：即（x-4）2+（y-1）2=4…（5分）
即动点M的轨迹为圆心（4，1），半径为2的圆，
∴动点M的轨迹围成区域的面积为4π…（6分）
（2）证明：由A（0，0）．C（3，1）知直线AC的方程为：x-3y=0，…（7分）
由D（0，1）．F（2，0）知直线DF的方程为：x+2y-2=0，…（8分）
由
又点E的坐标为（1，0），故kEG=2，kDF=-
所以kEG•kDF=-1，即证得：EG⊥DF …（13分）
已知直线l1：ax+3y-1=0与直线l2：2x+（a-1）y+1=0垂直，则实数a= ．
正确答案
∵直线l1：ax+3y-1=0与直线l2：2x+（a-1）y+1=0垂直，
∴斜率之积等于-1，他们的斜率分别为
∴
故答案为 
已知△ABC三个顶点坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（-1，-1）．
（1）求BC边上的高线所在的直线方程；
（2）求BC边上的中线所在的直线方程．
正确答案
（1）由题意可得直线BC的斜率kBC=
∴BC边上的高线所在的直线的斜率为-2，
∴所求直线的方程为：y-2=-2（x-1），
化为一般式可得：2x+y-4=0
（2）∵B（3，1），C（-1，-1），
∴BC的中点D的坐标为（1，0），
∴BC边上的中线所在的直线方程为：x=1
若直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=-7+a平行，则实数a的值为______．
正确答案
因为直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a-1）y=-7+a平行，
所以
解得a=3或a=-2（舍去），
故答案为3．
直线l在y轴上截距为2，且与直线l′：x+3y-2=0垂直，则l的方程是______．
正确答案
直线l′：x+3y-2=0的斜率等于-
再根据直线l在y轴上截距为2，
故l的方程为 y=3x+2，即3x-y+2=0，
故答案为3x-y+2=0．
已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax-y+3a=0．若l1⊥l2，则a=______．
正确答案
因为两条直线的斜率都存在，且l1⊥l2，
∴kl1•kl2=-1，
即（-a）•a=-1，
∴a=±1．
故答案为：±1
与直线4x-3y+1=0平行且距离为2的直线方程为______．
正确答案
设所求的直线方程为4x-3y+c=0，根据与直线4x-3y+1=0的距离为2得
故答案为4x-3y+11=0或4x-3y-9=0．
直线x-y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是______．
正确答案
由题意得 直线l过点（3，4），且与直线x-y+1=0垂直，故直线l的斜率为-1，
利用点斜式求得直线l的方程是y-4=-1（x-3），即x+y-7=0，
故答案为 x+y-7=0．
已知点P（1，1）和直线l：3x-4y-20=0，则过P与直线l平行的直线方程是______，过点P与l垂直的直线方程是______．
正确答案
设过P与直线l平行的直线方程是3x-4y+m=0，
把点P（1，1）代入可解得 m=1，
故所求的直线方程是3x-4y+1=0．
设过点P与l垂直的直线方程是 4x+3y+n=0，
把点P（1，1）代入可解得n=-7，
故所求的直线方程是 4x+3y-7=0．
故答案为 3x-4y+1=0、4x+3y-7=0．
经过A（-2，3）且平行于直线4x-y-7=0的直线方程为______．
正确答案
设经过A（-2，3）且平行于直线4x-y-7=0的直线方程为 4x-y+t=0，
把A（-2，3）代入直线方程得：
-8-3+t=0，∴t=11，
∴所求的直线方程为 4x-y-11=0．
与直线2x-y+2010=0平行且与抛物线x2=y相切的直线方程是______．
正确答案
由直线与直线2x-y+2010=0平行得到斜率相等，可设直线y=2x+m，
又因为由直线与抛物线x2=y相切得到直线与抛物线有且只有一个交点，
联立得
消去y得x2-2x-m=0可知方程有两个相等的实数根即△=4+4m=0，
解得m=-1，
所以此直线方程为y=2x-1即2x-y-1=0．
故答案为2x-y-1=0
已知直线l与直线
正确答案
设直线的倾斜角为α，则由两直线垂直斜率之积等于-1得tanα×（-
∴tanα=
∵0°≤α＜180°，
∴α=30°，
故答案为30°．
以点（1，3）和（5，-1）为端点的线段的中垂线的方程是______．
正确答案
直线AB的斜率 kAB=-1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y-1=x-3即x-y-2=0，
故答案为x-y-2=0．
直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行，则m的值为______．
正确答案
由于直线l1：x+my+6=0与直线l2：（m-2）x+3y+2m=0互相平行，
∴
故答案为-1．
已知点P（0，-1），点Q在直线x-y+1=0上，若直线PQ垂直于直线x+2y-5=0，则点Q的坐标是______．
正确答案
设Q（x，y），由题意，
∴Q（2，3）
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