热门试卷

（Ⅰ）先设出直线的方程，由直线与圆有两个不同的交战，故联立圆方程可得得一元二次方程，由判别式大于0可得K的取值范围为；（Ⅱ）没有符合题意的常数,理由见解析.

试题分析：（Ⅰ）；（Ⅱ）由向量加减法，可利用向量处理，设，则，由与共线等价于，然后由根与系数关系可得，由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数.注意运用向量法和方程的思想.

试题解析：（Ⅰ）圆的方程可写成，所以圆心为，

过且斜率为的直线方程为．

代入圆方程得，整理得．　　　①

直线与圆交于两个不同的点等价于，

解得，即的取值范围为．

（Ⅱ）设，则，

由方程①，　　　　②

又．　　③

而．

所以与共线等价于，

将②③代入上式，解得 

由（Ⅰ）知，故没有符合题意的常数．

6

过点作一圆与轴、轴分别相切于点A、B，且使点

在优弧AB上，则圆的方程为，于是过点作圆的切线和轴、轴分别相交于两点，圆为的内切圆，故

若过点的直线不和圆相切，则作圆的平行于的切线和轴、轴分别相交于

两点，则。由折线的长大于的长及切线长定理，得

所以，的最大值为6。

（I）（1）当过点P（1，2）的直线l与x轴垂直时，

此时圆心O到直线l的距离等于1，

所以x=1为所求直线方程．

（2）当过点P（1，2）且与x轴不垂直时，可设所求直线方程为y-2=k（x-1），

即：kx-y-k+2=0，由题意有=1，解得k=，

故所求的直线方程为y-2=(x-1)，即3x-4y+5=0．

综上，所求直线方程为x=1或3x-4y+5=0．

（II）：设点P（x，y），M（x0，y0），则=（x，y），=(x0，y 0)

因为N（4，0）

所以=（4，0）

因为=(+)，

所以（x，y）=[（4，0）+（x0，y0）]

即，即

又x02+y02=4，∴（2x-4）2+4y2=4，

即：（x-2）2+y2=1．

故动点P的轨迹方程：（x-2）2+y2=1．

（1）见解析（2）x＝－1或4x－3y＋4＝0.（3）－5

(1)证明：∵l与m垂直，且km＝－，

∴kl＝3.又kAC＝3，所以当l与m垂直时，l的方程为y＝3(x＋1)，l必过圆心C.

(2)解：①当直线l与x轴垂直时，易知x＝－1符合题意．②当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，即kx－y＋k＝0.因为PQ＝2，所以CM＝＝1，则由CM＝＝1，得k＝，∴直线l：4x－3y＋4＝0.从而所求的直线l的方程为x＝－1或4x－3y＋4＝0.

(3)解：∵CM⊥MN，∴·＝(＋)·＝·＋·＝·.

①当l与x轴垂直时，易得N，则＝.又＝(1，3)，∴·＝·＝－5；②当l的斜率存在时，设直线l的方程为y＝k(x＋1)，则由

得N，则＝.

∴·＝·＝＝－5.

综上，·与直线l的斜率无关，且·＝－5.

另解：连结CA并延长交m于点B，连结CM，CN，由题意知AC⊥m，又CM⊥l，∴四点M、C、N、B都在以CN为直径的圆上，由相交弦定理，得·＝－|AM|·|AN|＝－|AC|·|AB|＝－5.

（1）；（2）或.

试题分析：（1）根据题意列式计算；（2）直线,若曲线C上恰有三个点到直线的距离为1，说明圆心到此直线的距离也为，列式计算即可.

试题解析：（1）根据题意有，化简整理得

;6分 

(2) 直线,若曲线C上恰有三个点到直线的距离为1，说明圆心到此直线的距离也为，因为由（1）得出的圆的方程为圆心坐标为，所以解得

或  12分

∵∠ABC=90°，BC=3，AC=4，P是AB上的点，依题意，作图如下：

BC在x轴上，B点与原点O重合，点A（0，b）在y轴正半轴上，

依题意知，b==，

设点P（0，m）（0＜m＜），

∵直线AC的方程为+=1，即x+3y-3=0，

∴点P（0，m）到直线x+3y-3=0的距离（即点P（0，m）到AC的距离）d==|m-|=（-m），

又点P（0，m）到BC的距离为m，

∴点P到AC、BC的距离乘积f（m）=m•（-m）≤•(

m+(

7

-m)

2

)2=•=（当且仅当m=时取“=”）．

∴点P到AC、BC的距离乘积的最大值为．

（1）x=1显然符合条件；

（2）当A（2，3），B（0，-5）在所求直线同侧时，得到直线AB与所求的直线平行，kAB=4，所以所求的直线斜率为4，

∴y-2=4（x-1），化简得：4x-y-2=0，

所以满足条件的直线为4x-y-2=0，或x=1

60°

以为x轴，点P到的垂线为y轴建立如图所示的直角坐标系，设Q的坐标为(x, 0)，点A(k, λ)，⊙Q的半径为r，则：M(x-r, 0), N(x+r, 0), P(2, 0), PQ==1+r。所以x=±, ∴tan∠MAN=

，令2m=h2+k2-3，tan∠MAN=，所以m+rk=nhr，∴m+(1-nh)r=，两边平方，得：m2+2m(1-nh)r-(1-nh)2r2=k2r2+2k2r-3k2，因为对于任意实数r≥1，上式恒成立，所以，由（1）（2）式，得m="0," k=0，由（3）式，得n=。由2m=h2+k2-3得h=±，所以tan∠MAN==h=±。所以∠MAN=60°或120°（舍）（当Q(0, 0), r=1时∠MAN=60°），故∠MAN=60°。

先求得直线2x-y+2=0，x+y+1=0的交点A（-1，0），

设与一边所在的直线 x+3y-5=0 平行的边所在的直线方程为x+3y+m=0 （m≠-5），设与一边所在的直线 x+3y-5=0 垂直的边所在的直线方程为 3x-y-n=0，

由于正方形的中心A（-1，0）到 x+3y-5=0 的距离等于 =，

故A到其它三边的距离也等于．

有=，=，

∴m=7，n=9或n=-3．

故其它三边所在的直线方程为x+3y+7=0，3x-y+9=0，3x-y-3=0．

（1）∵点B在直线l1：2x+y-8=0上，可设B（a，8-2a），

又P（0，1）是AB的中点，

∴A（-a，2a-6），

∵点A在直线l2：x-3y+10=0上，

∴-a-3（2a-6）+10=0，

解得a=4，即B（4，0）．

故直线l的方程是x+4y-4=0；

（2）由（1）知A（-4，2），

又AD∥l1，则kAD==-2，

∴m=-6，则D（0，-6）．

点A到直线l1的距离d==，

|AD|==4，

∴S△ABD=|AD|•d=•4•=28．

（1）证明：因为OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0①

设点M（x，y）是以线段AB为直径的圆上的任意一点，则•=0

即（x-x1）（x-x2）+（y-y1）（y-y2）=0

展开上式并将 ①代入得x2+y2-（x1+x2）x-（y1+y2）y=0

故圆C是以线段AB为直径的圆；

（2）设圆C的圆心为C（x，y），

则x=，y=

∵y12=2px1，y22=2px2（p＞0），

∴x1x2=

又∵x1x2+y1y2=0

∴x1x2=-y1y2

∴-y1y2=

∴y1y2=-4p2

∴x==（y12+y22）

=（y12+y22+2y1y2）-

=（y2+2p2）

∴圆心的轨迹方程为：y2=px-2p2

设圆心C到直线x-2y=0的距离为d，则d==≥

∴当y=p时，d有最小值

∴=

∴p=5．

（1）或（2）见解析

（1）设点的坐标为，圆与圆的半径分别为，

由题意得，

即  3分

化简得，   5分

因为为坐标轴上的点，

所以点的坐标为或.    7分

（2）依题意可设直线的方程为：，，化简得，

则圆心到直线的距离为，

又圆的半径为，   10分

所以，“直线与圆总相交”等价于

“，且，，

即 ①，”     12分

记，整理得，

当时，；

当时，判别式，解得；

综上得，的最小值为1，      14分

所以，①式，即证．       16分

【命题意图】本题考查直线与圆知识 ，意在考查运算求解能力，数学综合论证能力.