热门试卷

将极坐标方程p=3转化为普通方程：x2+y2=9

p（cosθ+sinθ）=2可化为x+y=2

在x2+y2=9上任取一点A（3cosa，3sina），则点A到直线的距离为

d==，它的最大值为4．

（1） 

(2) 即， .

(1)先求出三角形的高，即原点O到直线的距离，然后再利用圆的弦长公式求出三角形的底的长度，进而确定

(2)求最值要换元.令,这样转化成二次函数最值解决即可.

解：如图,(1)直线方程为： ，且.——————2分

原点O到的距离为——————3分

弦长——————4分

△ABO面积————————6分

△

 ——————————8分

(2) 令则——————10分

.————12分

当t=时, 时, ————————14分

另解:△ABO面积S=

，此时

即，所以.

（1）由，消去y得4x2+4（b-1）x+b2=0．

△=[4（b-1）]2-4×4×b2＞0，得b＜．

x1+x2=1-b，x1•x2=．

|AB|===3．

∴解得：b=-4，满足b＜，∴b=-4；

（2）P到直线2x-y-4=0的距离为d，d=．

由S△PAB=×3×=9，解得：x=5或x=-1，

∴P点坐标为（-1，0）或（5，0）．

∵ρ=4cosθ，

∴ρ2=4ρcosθ，

∴程x2+y2=4x，即x2+y2-4x=0，

∴曲线C是以M（2，0）为圆心，2为半径的圆…2分

化线l的参数方程 （t为参数）为普通方程：x-y+3=0，…4分

∵圆心M（2，0）到直线l的距离公式求得d==，…6分

∴|MN|的最小值为-2=…7分

（1）∵圆C1与直线x=1-2相切于点A(1-2，1)，

∴圆心C1在直线y=1上，…（1分）

又圆心C1在直线x-y=0上，

∴圆心C1为直线y=1和直线x-y=0的交点，即点（1，1）．…（2分）

∵圆C1与直线x=1-2相切，

∴圆C1的半径等于点（1，1）到直线x=1-2的距离，

即圆C1的半径为|1-(1-2)|=2

∴圆C1的方程为（x-1）2+（y-1）2=8…（5分）

（2）∵圆心C1到直线l2的距离为d==3＞2…（7分）

∴直线l2与圆C1相离．…（8分）

（3）由已知，可设圆C2的方程为（x-a）2+（y-b）2=8，

∵圆C2经过点（1，1），

∴（1-a）2+（1-b）2=8，即（a-1）2+（b-1）2=8，

∴圆C2的圆心C2（a，b）在圆C1上．…（10分）

设直线l2：x+y-8=0与圆C2的交点分别为M，N，MN的中点为P，

由圆的性质可得：|MN|2=4(8-|C2P|2)，

所以求直线l2被圆C2截得弦长MN的最大值即求C2P的最小值．…（12分）

又因为C1到直线l2的距离为d=3，

所以C2P的最小值为d-|C1C2|=3-2=，

所以(|MN|2)max=4[8-(

2

)2]=24，

即MNmax=2，

故直线l2被圆C2截得弦长的最大值为2．…（14分）

（Ⅰ）圆心C坐标（3，-1），半径r=5，

由条件可知：圆心C到直线l的距离为3．（3分）

当斜率不存在时，x=0符合条件； （4分）

当直线l斜率存在时，设其为k，

则=3⇒k=-，

则直线l的方程为8x+15y-60=0．

综上，直线l方程是8x+15y-60=0或x=0；（6分）

（Ⅱ）知直线l方程为y=-2x+4，设点P（a，4-2a），

则由PC2-r2=PS2得：a2+4a2=（a-3）2+（5-2a）2-25，

⇒a=，

所求点P为(，)；（10分）

（Ⅲ）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边一半有：

定点M的坐标为 (，)．（16分）

(1)或 (2)或

试题分析：(1)根据题意可知,因为则，因为，则可得，设出点的坐标根据点在直线上且，可求得点的坐标。(2)当直线直线的斜率不存在时，直线与圆无交点，舍。设出直线的点斜式方程，画图分析可知，可求得圆心到直线的距离，即可求得直线的斜率。

试题解析：解： (1)设,由题可知,所以,

解之得:,

故所求点的坐标为或.              6分

(2)设直线的方程为:,易知存在,

由题知圆心到直线的距离为,所以,

解得,或,

故所求直线的方程为:或.      13分

将方程（t为参数），化为普通方程3x+4y+1=0，

将方程ρ=cos(θ+)化为普通方程x2+y2-x+y=0，

此方程表示圆心为(，-)，半径为的圆．

则圆心到直线的距离d=弦长=2=2=．

故答案为．

（1）或；（2）．

试题分析：（1）根据题意可设切线方程为（），然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求出的值，进而求出切线方程；

（2）通过为切线，可知，可以得到点的轨迹方程，然后将求的最小值问题转化为求的最小值，利用点到直线的距离易得．

试题解析：（1）切线在两坐标轴上的截距相等且截距不为零，

∴设切线方程为（），

又圆C：，

∴圆心C到切线的距离等于圆的半径，

∴，解得或，

故所求切线的方程为：或．

（2）设，

切线与半径垂直，

∴，

∴，整理得，

故动点在直线上，

由已知的最小值就是的最小值，

而的最小值为到直线的距离，

∴解得

∴所求点坐标为．

（1）(x－3)2＋(y－1)2＝9.（2）a＝－1.

(1)曲线y＝x2－6x＋1与坐标轴的交点为(0,1)，(3±2，0)．故可设圆心坐标为(3，t)，

则有32＋(t－1)2＝2＋t2.

解得t＝1，则圆的半径为＝3.

所以圆的方程为(x－3)2＋(y－1)2＝9.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足方程组，

消去y得到方程2x2＋(2a－8)x＋a2－2a＋1＝0，

由已知可得判别式Δ＝56－16a－4a2＞0，

由根与系数的关系可得x1＋x2＝4－a，x1x2＝，①

由OA⊥OB可得x1x2＋y1y2＝0.又y1＝x1＋a，y2＝x2＋a.所以2x1x2＋a(x1＋x2)＋a2＝0.

由①②可得a＝－1，满足Δ＞0，故a＝－1.

（1）设动点M的坐标为（x，y），

由已知条件可知，点M与定点（，0）的距离等于它到直线x=-的距离．

根据抛物线的定义，点M的轨迹是以定点（，0）为焦点的抛物线．

因为=，所以p=1．即点M的轨迹方程为y2=2x；

（2）设抛物线上的点P（，y），y∈R．则

|PA|2=(-a)2+(y-0)2，整理得：

|PA|2=+(1-a)y2+a2．

令y2=t≥0，有：|PA|2=+(1-a)t+a2，（t≥0）

关于t的二次函数的对称轴为：t0=2（a-1）．对对称轴位置作分类讨论如下：

①2（a-1）≤0时，a≤1，即t=1时，|PA|min2=a2，d（a）=|a|；

②2（a-1）＞0时，a＞1，即t=2（a-1）时，|PA|min2=2a-1，d（a）=．

所以d（a）=．