基本不等式_章节学习

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题型：填空题

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填空题

（2016•惠州模拟）已知a＞0，b＞0，2a+3b=6，则+的最小值为______．

正确答案

4

解析

解：∵a＞0，b＞0，2a+3b=6，

则+==≥=4，当且仅当3b=2a=3时取等号．

∴+的最小值为4．

故答案为：4．

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题型：单选题

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单选题

设实数x，y满足条，若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，则+的最小值为（　　）

A

B

C

D4

正确答案

A

解析

解；∵实数x，y满足条，

若目标函数z=ax+by（a＞0，b＞0）的最大值为12，

∴得出：x=4，y=6，

∴目标函数过（4，6）时，目标函数取最大12，

即4a+6b=12，

∴2a+3b=6，

∴+=（）（2a+3b）=（13+）=≥+2=

故选：A

12，

1

题型：填空题

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填空题

设a，b为实数，且a+2b=3，则2a+4b的最小值是______．

正确答案

4

解析

解：∵a+2b=3，

∴2a+4b=2a+22b≥2=2=4，

当且仅当，即时取等号，

∴时，2a+4b的最小值是4，

故答案为：4．

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题型：填空题

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填空题

有一块以O为圆心的半圆形空地，要在这块空地上划出一个内接矩形ABCD开辟为绿地，使其一边AD落在半圆的直径上，另外两点B，C落在半圆的圆周上，已知半圆的半径长为a，则当矩形ABCD的面积最大时，AD的长为______．

正确答案

a

解析

解：令∠DOC=θ，DC=asinθ，AD=2acosθ，

∴S=AD×DC=2acosθ×asinθ=a2sin2θ，

当θ=时，Smax=a2，

∴AD=a．

故答案为：a．

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题型：填空题

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填空题

用长为20米的篱笆围一个矩形场地，一边利用旧墙，则与旧墙相对的一边长为______米时，才能使围成矩形面积最大；最大面积为______平方米．

正确答案

10

50

解析

解：设矩形的一条边长为xm，则与旧墙相对的一边长为（20-2x）m

则矩形的面积S=x（20-2x），其中0＜x＜10

∵x（20-2x）=•2x（20-2x）≤•[]2=50

当且仅当2x=（20-2x），即x=5时等号成立

∴当x=5时，围成矩形的面积最大，最大面积为50m2，

此时与旧墙相对的一边长为（20-2x）=10m

故答案为：10 50

1

题型：简答题

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简答题

某单位拟建一个扇环面形状的花坛（如图所示），该扇环面是由以点O为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O的两条直线段围成．按设计要求扇环面的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x米，圆心角为θ（弧度）．

（1）求θ关于x的函数关系式；

（2）已知在花坛的边缘（实线部分）进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比为y，求y关于x的函数关系式，并求出x为何值时，y取得最大值？

正确答案

解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10-x），

∴θ=（0＜x＜10）；

（2）花坛的面积为-==（10-x）（5+x）；

装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10-x）•4=9xθ+90θ+8（10-x）=170+10x，

∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．

令17+x=t，

则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，

∴当x=1时，y取得最大值．

解析

解：（1）由题意，30=xθ+10θ+2（10-x），

∴θ=（0＜x＜10）；

（2）花坛的面积为-==（10-x）（5+x）；

装饰总费用为xθ•9+10θ•9+2（10-x）•4=9xθ+90θ+8（10-x）=170+10x，

∴花坛的面积与装饰总费用的比为y=．

令17+x=t，

则y=，当且仅当t=18时取等号，此时x=1，θ=，

∴当x=1时，y取得最大值．

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题型：填空题

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填空题

当x＜0时，y=的最小值为______．

正确答案

-3

解析

解：y==，

当x＜0时，x+=-[（-x）+]≤-2=-2，

当且仅当x=-1时，取得等号，

则当x=-1时，函数y取得最小值-3．

故答案为：-3．

1

题型：单选题

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单选题

已知a＞0，b＞0，a+2b=1，则的取值范围是（　　）

A（-∞，6）

B[4，+∞）

C[6，+∞）

D

正确答案

D

解析

解：∵a+2b=1

∴=（）（a+2b）=3++≥3+2=3+2（当=时等号成立．

故选D

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题型：简答题

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简答题

为改变闽江口环境，加强对化工厂污染源处理，某政协委员针对闽江口环境状况进行了实地调研．据测定，该处的污染指数y与到污染源的距离x成反比，同时与附近污染源的强度m成正比，且比例系数为k，即y=，若该处与污染源的距离为4km，污染源的强度为2时，则污染指数y等于1．现已知相距36km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为正数a、b，它们连线上任意一点C处的污染指数y等于两化工厂对该处的污染指数之和．设AC=x（km）．（0＜x＜36）

（1）试将y表示为x的函数；

（2）现准备在A，B连线上C处建健身房，若a=1，b=25时，请问C在何处是最佳选择，并说明理由．

正确答案

解：（1）设比例系数为k，由1=得k=2．

设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，

从而点C处污染指数y=+（0＜x＜36）；

（2）a=1，b=25时，y=（0＜x＜36）

∴y′=2[-+]，

令y′=0，得x=6或x=-9（舍去），

当x∈（0，6）时，函数单调递减；当x∈（6，+∞）时，函数单调递增，

∴x=6是唯一的极小值点，即为函数的最小值点．

解析

解：（1）设比例系数为k，由1=得k=2．

设点C受A污染源污染指数为，点C受B污染源污染指数为，

从而点C处污染指数y=+（0＜x＜36）；

（2）a=1，b=25时，y=（0＜x＜36）

∴y′=2[-+]，

令y′=0，得x=6或x=-9（舍去），

当x∈（0，6）时，函数单调递减；当x∈（6，+∞）时，函数单调递增，

∴x=6是唯一的极小值点，即为函数的最小值点．

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题型：填空题

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填空题

一环保部门对某处的环境状况进行了实地测量，据测定，该处的污染指数等于附近污染源的污染强度与该处到污染源的距离之比．已知相距30km的A，B两家化工厂（污染源）的污染强度分别为1和4，它们连线上任意一点处的污染指数等于两化工厂对该处的污染指数之和．现拟在它们之间的连线上建一个公园，为使两化工厂对其污染指数最小，则该公园应建在距A化工厂______公里处．

正确答案

10

解析

解：设该公园应建在距A化工厂xkm处，（0＜x＜30）．

由题意可得：两化工厂对其污染指数f（x）=．

∴=，

令f′（x）=0，解得x=10．

当30＞x＞10时，f′（x）＞0，此时函数f（x）单调递增；当10＞x＞0时，f′（x）＜0，此时函数f（x）单调递减．

∴当x=10时取得最小值，f（10）=0.3．

故答案为：10．

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