热门试卷

（1）设z=a+bi（a、b∈R），z2=（a+bi）2=a2-b2+2abi…（1分）

∵|z|==，∴a2+b2=2，…①

又∵z2的虚部为2，∴2ab=2…②…（2分）

①②联解，得a=b=-1或a=b=1…（3分）

∴z=1+i或-1-i…（4分）

（2）（i）当z=1+i时，z2=2i，z-z2=1-i…（5分）

可得A（1，1），B（0，2），C（1，-1）．

∴AB=，AC=2，BC=，

可得cos∠ABC==，…（9分）

（ii）当z=-1-i，z2=2i，z-z2=-1-3i，…（10分）

可得A（-1，-1），B（0，2），C（-1，-3）．

∴AB=，AC=2，BC=，

可得cos∠ABC==…（13分）

（1）()2+

=+

=i+i+=+i；

（2）把z=x+yi代入z+2i=3+i，

得x+yi+2i（x-yi）=3+i

所以（x+2y）+（2x+y）i=3+i

则，解得．

所以复数z对应的点在第二象限．

（1）原式=[（1+2i）+（-i）5]2-i10

=（1+i）2-（-1）=2i+1．

（2）设z=x+yi（x，y∈R），则=x-yi，

则（x+yi）+（x-yi）=4，即2x=4，解得x=2，（x+yi）（x-yi）=8，即x2+y2=8，

所以4+y2=8，解得y=±2，

所以z=2±2i，

当z=2+i时，===；

当z=2-i时，===；

（1）z1==2+i

另设z1=m+ni（m，n∈R）

所以

解得m=2，n=1，所以z1=2+i

（2）|2+i-（1+ai）|＜|2+i|＜

解得：-1＜a＜3．

设第三个顶点所表示的复数为z那么根据题意，z-2和z-(+i)的模相等，辐角差为(或-)，因而z-2=[z-(+i)](cos+isin)=(+i)z-(+i)2

[1-(+i)]z=2-[+2••i+(i)2]

(-i)z=2-(-+i)∴z=2+i；

或z-2=[z-(+i)](-i)=(-i)z-(+i)(-i)，

(+i)z=2-(+)，∴z=-i

（1）由题得z=--i（2分）   

所以方程另一个根为-+i（4分）

由韦达定理知：得a=1，b=（16分）

（2）由（1）知(1+i)+u=--i，设 u=x+yi（x，y∈R）（7分）

则：(1+i)(x-yi)+(x+yi)=--i，

得(2x+y)+xi=--i（8分）

2x+y=-且 x=-，所以u=-+i（12分）

设z+=t，则 z2-tz+10=0．∵1＜t≤6，∴△=t2-40＜0，

解方程得 z=± i．

又∵z的实部和虚部都是整数，∴t=2或t=6，

故满足条件的复数共4个：z=1±3i 或 z=3±i．

∵复数z的模为2，由不等式的性质可得|z-i|≤|z|+|i|=2+1=3，

故|z-i|的最大值为3．

z1=2+3i，z2=1-i，代入=z1+ 可得=z1+=2+3i+=2+3i+=3+4i

所以Z===-i．