复数代数形式的四则运算_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

方程x2-2x+2=0的根在复平面上对应的点是A、B，点C对应的复数满足：（1+i）2（1+z）=-6，求△ABC的最大内角的大小．

正确答案

解方程x2-2x+2=0得：x=1±i，

则根对应的点的坐标是A（1，1），B（1，-1）．

又由（1+i）2（1+z）=-6解得z=-1+3i，则C（-1，3）．

∴=（-2，2），=（0，-2）

∴cosA==-

∴A=135°

即三角形的最大内角的大小是135°．

1

题型：简答题

|

简答题

当实数m为何值时，复平面内表示复数z=（m2-8m+15）+（m2+3m-28）i的点

（1）位于第四象限；

（2）位于直线y=2x-40的右下方（不包括边界）．

正确答案

（1）∵复平面内表示复数z=（m2-8m+15）+（m2+3m-28）i的点位于第四象限

∴m2-8m+15＞0，且m2+3m-28＜0…3分

解得m∈[（-∞，3）∪（5，+∞）]∩（-7，4）

即m∈（-7，3）…5分

（2）∵复平面内表示复数z=（m2-8m+15）+（m2+3m-28）i的点位于直线y=2x-40的右下方（不包括边界）．

即（m2-8m+15）×2-40＞m2+3m-28

即m2-19m+18＞0…8分

解得m∈（-∞，1）∪（18，+∞）…10分

1

题型：简答题

|

简答题

已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=•，|w|=2|z|．

（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式：

（Ⅱ）将（x、y）用为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系式可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q．已知点P经该变换后得到的点Q的坐标为(，2)，试求点P的坐标；

（Ⅲ）若直线y=kx上的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上，试求k的值．

正确答案

（I）由题设得，|w|=|•|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，

由1+m2=4，且m＞0，得m=，∴z0=1-i，

∵w=•，

∴x′+y′i=•)=(1+i)(x-yi)=x+y+(x-y)i，

由复数相等得，，

（Ⅱ）由（I）和题意得，，解得，

即P点的坐标为(，)．

（Ⅲ）∵直线y=kx上的任意点P（x，y），

其经变换后的点Q(x+y，x-y)仍在该直线上，

∴x-y=k(x+y)，

即(k+1)y=(-k)x

∵当k=0时，y=0，y=x不是同一条直线，

∴k≠0，

于是=，

即k2+2k-=0，

解得k=或k=-

1

题型：填空题

|

填空题

给出以下命题：

（1）α，β表示平面，a，b，c表示直线，点M；若a⊂α，b⊂β，α∩β=c，a∩b=M，则M∈c；

（2）平面内有两个定点F1（0，3），F2（0-3）和一动点M，若||MF1|-|MF2||=2a（a＞0）是定值，则点M的轨迹是双曲线；

（3）在复数范围内分解因式：x2-3x+5=(x-)(x-)；

（4）抛物线y2=12x上有一点P到其焦点的距离为6，则其坐标为P（3，±6）．

以上命题中所有正确的命题序号为______．

正确答案

对于（1）根据平面的基本性质可知其正确；

（2）先根据||MF1|-|MF2||=2a（a＞0）是定值，只有当2a＜F1F2可得到动点M的轨迹即是双曲线，否则点M的轨迹不是双曲线，故错；

对于（3）在复数范围内分解因式：x2-3x+5=(x-)(x-)是正确的；

对于（4）根据抛物线y2=12x可知p=6，准线方程为x=-6，根据抛物线的定义可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x=-6的距离，得xp=3，把x代入抛物线方程解得y=±6，故（4）正确．

故答案为：（1）（3）（4）．

1

题型：简答题

|

简答题

已知复数z0=1-mi（m＞0），z=x+yi和w=x'+y'i，其中x，y，x'，y'均为实数，i为虚数单位，且对于任意复数z，有w=•，|w|=2|z|．

（Ⅰ）试求m的值，并分别写出x'和y'用x、y表示的关系式；

（Ⅱ）将（x、y）作为点P的坐标，（x'、y'）作为点Q的坐标，上述关系可以看作是坐标平面上点的一个变换：它将平面上的点P变到这一平面上的点Q，当点P在直线y=x+1上移动时，试求点P经该变换后得到的点Q的轨迹方程；

（Ⅲ）是否存在这样的直线：它上面的任一点经上述变换后得到的点仍在该直线上？若存在，试求出所有这些直线；若不存在，则说明理由．

正确答案

（Ⅰ）由题设，|w|=|•|=|z0||z|=2|z|，∴|z0|=2，

于是由1+m2=4，且m＞0，得m=，…（3分）

因此由x′+y′i=•=x++(-y)i，

得关系式…（5分）

（Ⅱ）设点P（x，y）在直线y=x+1上，则其经变换后的点Q（x'，y'）满足，…（7分）

消去x，得y′=(2-)x′-2+2，

故点Q的轨迹方程为y=(2-)x-2+2…（10分）

（3）假设存在这样的直线，∵平行坐标轴的直线显然不满足条件，

∴所求直线可设为y=kx+b（k≠0），…（12分）

[解法一]∵该直线上的任一点P（x，y），其经变换后得到的点Q(x+y，x-y)仍在该直线上，

∴x-y=k(x+y)+b，

即-(k+1)y=(k-)x+b，

当b≠0时，方程组无解，

故这样的直线不存在． …（16分）

当b=0时，由=，

得k2+2k-=0，

解得k=或k=-，

故这样的直线存在，其方程为y=x或y=-x，…（18分）

[解法二]取直线上一点P(-，0)，其经变换后的点Q(-，-)仍在该直线上，

∴-=k(-)+b，

得b=0，…（14分）

故所求直线为y=kx，取直线上一点P（0，k），其经变换后得到的点Q(1+k，-k)仍在该直线上．

∴-k=k(1+k)，…（16分）

即k2+2k-=0，得k=或k=-，

故这样的直线存在，其方程为y=x或y=-x，…（18分）

1

题型：填空题

|

填空题

在复平面内，点A对应的复数为4+3i，点B对应的复数为-2+i，那么线段AB的中点C到原点的距离为______．

正确答案

在复平面内，点A对应的复数为4+3i，点B对应的复数为-2+i，所以A（4，3），B（-2，1），

那么线段AB的中点C（1，2），它到原点的距离=．

故答案为：．

1

题型：填空题

|

填空题

已知复平面上的点集M={z||z-3i|=1}，N={z||z-4|=1}，点A∈M，点B∈N，则A，B两点的最短距离是______．

正确答案

由题意，复平面上的点集M={z||z-3i|=1}表示以（0，3）为圆心，1为半径的圆，

N={z||z-4|=1}表示以（4，0）为圆心，1为半径的圆．

∵点A∈M，点B∈N，

∴A，B两点的最短距离是两圆的圆心距减去两圆半径的和

∴A，B两点的最短距离为-(1+1)=3

故答案为：3

1

题型：填空题

|

填空题

（1）若双曲线x2-=1的离心率为n，则n=______；

（2）设i为虚数单位，复数（1+i）n的运算结果为______．

正确答案

（1）依题意可知a=1，b=

∴c==4

∴n==4

（2）∵（1+i）2=1+2i-1=2i

∴（1+i）4=（2i）2=-4

故答案为4，-4

1

题型：简答题

|

简答题

已知复数z=x-yi（x，y∈R）在复平面上对应的点为M．设集合P={-4，-3，0，4}，Q={-3，0，1，2}，从集合P中随机取一个数作为x，从集合Q中随机取一个数作为y，求点M落在第二象限的概率．

正确答案

记事件A为点M落在第二象限（x为负，y为负）．

由题意，基本事件总数为4×4=16个，

事件A发生包含的基本事件有（-4，-3），（-3，-3）

故P(A)==．（12分）

1

题型：简答题

|

简答题

对任意一个非零复数z，定义集合Mz={w|w=z2n-1，n∈N}．

（Ⅰ）设α是方程x+=的一个根．试用列举法表示集合Ma，若在Ma中任取两个数，求其和为零的概率P；

（Ⅱ）设复数ω∈Mz，求证：Mω⊆Mz．

正确答案

（Ⅰ）∵α是方程x2-x+1=0的根，∴α1=(1+i)或α2=(1-i)．…（2分）

当α1=(1+i)时，∵=i， ==，

∴Mα1={，，，}={(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)}．

当α2=(1-i)时，∵=-i，

∴Mα2={，，，}=Mα1={(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)}．

当α2=(1-i)时，∵=-i，∴Mα2={，，，}=Mα1．

因此，不论α取哪一个值，集合Mα是不变的，即Mα={(1+i)，-(1-i)，-(1+i)，(1-i)}．…（8分）

于是，在Ma中任取两个数，求其和为零的概率　P==．…（10分）

（Ⅱ）证明：∵ω∈Mz，∴存在m∈N，使得ω=z2m-1．…（12分）

于是对任意n∈N，ω2n-1=z（2m-1）（2n-1），由于（2m-1）（2n-1）是正奇数，ω2n-1∈Mz，所以Mω⊆Mz．…（14分）

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案