- 指数函数的实际应用
- 共1991题
为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，新上了把二氧化碳处理转化为一种可利用的化工产品的项目，经测算，该项目月处理成本y（元）与月处理量x（吨）之间的函数关系可近似的表示为：y=
（I）当x∈[200，300]时，判断该项目能否获利？如果获利，求出最大利润；如果不获利，则国家每月至少需要补贴多少元才能使该项目不亏损？
（II）该项目每月处理量为多少吨时，才能使每吨的平均处理成本最低？
正确答案
（I）当x∈[200，300]时，设该项目获利为S，则
S=200x-(
当x∈[200，300]时，S＜0，此时该项目不会获利；
当x=300时，S取得最大值-5000，所以，国家每月至少补贴5000元才能使该项目不亏损．
（II）由题意知，二氧化碳的每吨平均处理成本为：
则：①当x∈[120，144）时，
②当x∈[144，500]时，
当且仅当
∵200＜240，∴当每月处理量为400吨时，才能使每吨的平均处理成本最低．
函数f（x）=ax-x，（a＞1），求f（x）最小值，并求最小值小于0时，a的取值范围．
正确答案
（1）f'（x）=axlna-1，f'（x）＞0，即axlna＞1，
∴ax＞
同理f'（x）＜0，有∴x＜-logalna，
所以f'（x）在（-∞，-logalna）上是减函数，在（-logalna，+∞）是增函数，故f(x)min=f(-lo
（2）若f（x）min＜0，即
则ln（lna）＜-1，
∴lna＜
∴a∈(1，e1e)．
已知函数f(x)=(
（1）若a=-1，求f（x）的单调区间；
（2）若f（x）有最大值3，求a的值．
正确答案
（1）a=-1，得f(x)=(
1
3
)x2-4x+3，
∵
∴f（x）的增区间为（-∞，2），减区间为（2，+∞）
（2）∵f（x）有最大值，
∴函数t=ax2-4x+3在区间（-∞，
由此可得，a＞0且f（
1
3
)-4a+3=3，得-
综上所述，当f（x）有最大值3时，a的值为1
市政府为招商引资，决定对外资企业第一年产品免税．某外资厂该年A型产品出厂价为每件60元，年销售量为11.8万件．第二年，当地政府开始对该商品征收税率为p%（0＜p＜100，即销售100元要征收p元）的税收，于是该产品的出厂价上升为每件
（Ⅰ）将第二年政府对该商品征收的税收y（万元）表示成p的函数，并指出这个函数的定义域；
（Ⅱ）要使第二年该厂的税收不少于16万元，则税率p%的范围是多少？
（Ⅲ）在第二年该厂的税收不少于16万元的前提下，要让厂家获得最大销售金额，则p应为多少？
正确答案
（Ⅰ）依题意，第二年该商品年销售量为（11.8-p）万件，
年销售收入为
政府对该商品征收的税收y=
故所求函数为y=
由11.8-p＞0及p＞0得定义域为0＜p＜11.8…（4分）
（II）由y≥16得
化简得p2-12p+20≤0，即（p-2）（p-10）≤0，解得2≤p≤10．
故当税率在[0.02，0.1]内时，税收不少于16万元． …（9分）
（III）第二年，当税收不少于16万元时，
厂家的销售收入为g（p）=
∵g(p)=
∴g（p）max=g（2）=800（万元）
故当税率为2%时，厂家销售金额最大． …（14分）
（1）解不等式：22x-7＞24x-1； （2）证明：f(x)=
正确答案
（1）考察函数y=2x，
因为y=2x在R上是增函数，22x-7＞24x-1所以2x-7＞4x-1，
即x＜-3
所以不等式的解集是{x|x＜-3}（5分）
（2）函数：f(x)=
又因为f(-x)=
所以f(x)=
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