- 指数函数的实际应用
- 共1991题
已知函数f(x)=
正确答案
因为函数f(x)=
又由于f（x）＞4⇔1°
2°
故答案为：2；（-∞，-2）∪（2，+∞）
已知函数f（x）=ax+a-x（a＞0，a≠1），且f（1）=3，则f（0）+f（1）+f（2）的值是______．
正确答案
∵f（1）=a+a-1=3，f（0）=2，f（2）=a2+a-2=（a+a-1）2-2=7，
∴f（1）+f（0）+f（2）=12．
故答案为：12
（A类）已知函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A，且点A又在函数f（x）=log3（x+a）的图象上．
（1）求实数a的值； （2）解不等式f（x）＜log3a；
（3）|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根时，求b的取值范围．
（B类）设f（x）是定义在R上的函数，对任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）
（1）求f（0）的值； （2）求证：f（x）为奇函数；
（3）若函数f（x）是R上的增函数，已知f（1）=1，且f（2a）＞f（a-1）+2，求a的取值范围．
正确答案
A类：（1）∵函数g（x）=（a+1）x-2+1（a＞0）的图象恒过定点A
∴A点的坐标为（2，2）
又因为A点在f（x）=log3（x+a）的图象上，
∴2=log3（2+a）
即a+2=3
∴a=1
（2）∵不等式f（x）＜log3a⇔log3（x+1）＜log31=0
⇔0＜x+1＜1
⇔-1＜x＜0
∴不等式f（x）＜log3a的解集为（-1，0）
（3）∵g（x）=2x-2+1
∴g（x+2）=2x+1
∴|g（x+2）-2|=2b⇔|2x+1-2|=2b⇔|2x-1|=2b
函数y=|2x-1|的图象如图1，
要使|g（x+2）-2|=2b有两个不等实根
由图象可知需0＜2b＜1，
故b的取值范围为（0，
B类：（1）令x=y=0
则f（0）=f（0）+f（0）
∴f（0）=0
（2）令y=-x
则f（0）=f（x）+f（-x）
∴f（-x）=-f（x）
所以f（x）为R上的奇函数
（3）令x=y=1
则f（1+1）=f（2）=f（1）+f（1）=2
∴f（2）=2
∴f（2a）＞f（a-1）+2⇔f（2a）＞f（a-1）+f（2）⇔f（2a）＞f（a+1）
又∵f（x）是R上的增函数，所以2a＞a+1
即a＞1
∴a的取值范围为（1，+∞）
设0≤x≤2，则函数f(x)=4x-12-3•2x+5的最大值是______，最小值是______．
正确答案
令2x=t（1≤t≤4），则原式转化为：
y=
所以当t=3时，函数有最小值
故答案为：
已知a＞0且a≠1，f（logax）=
（1）求函数f（x）的解析式；（2）试判定函数f（x）的奇偶性与单调性，并证明．
正确答案
（1）令logax=t，则x=at，得f（t）=（at-a-r），（4分）
所以f（x）=
（2）因为f（x）定义域为R，
又f（-x）=
=-
所以函数f（x）为奇函数（9分）
任取x1＜x2
则f（x2）-f（x1）=
因为当a＞0且a≠1，恒有f（x2）-f（x1）＞0，
所以f（x）为增函数（13分）
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