空间向量及其运算
共1844题

空间向量及其运算
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题型：简答题

简答题

设向量=(3，5，-4)，=(2，1，8)，计算•以及与所成角的余弦值，并确定λ和μ的关系，使λ+μ与z轴垂直．

正确答案

∵=(3，5，-4)，=(2，1，8)，

∴•=3×2+5×1+（-4）×8=-21．

∴cos＜，＞===-．

∵λ+μ=（3λ+2μ，5λ+μ，-4λ+8μ），

∴λ+μ与z轴垂直时，-4λ+8μ=0，解得λ=2μ．

题型：简答题

简答题

三棱柱ABC-A1B1C1中，M、N分别是A1B、B1C1上的点，且BM=2A1M，C1N=2B1N．设=，=，=．

（Ⅰ）试用，，表示向量；

（Ⅱ）若∠BAC=90°，∠BAA1=∠CAA1=60°，AB=AC=AA1=1，求MN的长．

正确答案

（Ⅰ）由图形知=++=++=(-)++(-)=++．

（Ⅱ）由题设条件

∵(

)2=

2+2•+2•+2•=1+1+1+0+2×1×1×+2×1×1×=5，

∴|++|=，||=|++=|．

题型：填空题

填空题

已知点A的坐标为（1，3，5），点B的坐标为（3，1，4），则|AB|的长为______．

正确答案

∵点A的坐标为（1，3，5），

点B的坐标为（3，1，4），

∴|AB|=

=3．

故答案为3．

题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系O-xyz中，已知点A关于xOy平面的对称点为M（2，-3，5），M关于x轴的对称点为B，则线段AB的长度等于______．

正确答案

∵点A关于xOy平面的对称点为M（2，-3，5），

∴A（2，-3，-5），

∵M（2，-3，5）关于x轴的对称点为B，

∴B（2，3，-5），

∴|AB|==6，

故答案为：6．

题型：填空题

填空题

若=(2，3，-1)，=(-2，1，3)，则以，为邻边的平行四边形面积为______．

正确答案

设向量、的夹角为θ

∵=(2，3，-1)，=(-2，1，3)，

∴cosθ===-

由同角三角函数的关系，得sinθ==

∴以，为邻边的平行四边形面积为S=•sinθ=××=6

故答案为：6

题型：填空题

填空题

在空间直角坐标系中A、B两点的坐标为A（-1，2，3），B（2，-2，3），则|AB|=______．

正确答案

∵A（-1，2，3），B（2，-2，3），

∴|AB|==5

故答案为：5

题型：简答题

简答题

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设=，=．

（Ⅰ）求和的夹角θ的余弦值；

（Ⅱ）若向量k+与k-2互相垂直，求实数k的值；

（Ⅲ）若向量λ-与-λ共线，求实数λ的值．

正确答案

==(1，1，0)，==(-1，0，2)．

（Ⅰ）cosθ===-，

∴和的夹角θ的余弦值为-．

（Ⅱ） k+=(k-1，k，2)，k-2=(k+2，k，-4)

∵向量k+与k-2互相垂直，

∴(k+)•(k-2)=(k-1，k，2)•(k+2，k，-4)=（k-1）（k+2）+k2-8=2k2+k-10=0

∴k=-，或k=2．

（Ⅲ） λ-=(λ+1，λ，-2)，-λ=(1+λ，1，-2λ)

∵向量λ-与-λ共线，∴存在实数μ，使得λ-=μ(-λ)

即（λ+1，λ，-2）=μ（1+λ，1，-2λ）∴

∴λ=1，或λ=-1．

题型：简答题

简答题

已知：=（x，4，1），=（-2，y，-1），=（3，-2，z），∥，⊥，求：

（1），，；

（2）（+）与（+）所成角的余弦值．

正确答案

（1）∵∥，∴==，解得x=2，y=-4，

故=（2，4，1），=（-2，-4，-1），

又因为⊥，所以•=0，即-6+8-z=0，解得z=2，

故=（3，-2，2）

（2）由（1）可得+=（5，2，3），+=（1，-6，1），

设向量+与+所成的角为θ，

则cosθ==-

题型：填空题

填空题

已知A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），则在上的投影为______．

正确答案

∵A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），

∴=(4，-5，0)，

=(0，4，-3)，

∴在上的投影=||cos＜，＞

=×

=-4．

故答案为：-4．

题型：填空题

填空题

已知向量=(2，-3，)，=(1，0，0)，则这两个向量的夹角为______．

正确答案

因为=(2，-3，)，=(1，0，0)，根据空间向量的夹角公式，可知cos＜，＞==，

所以：与的夹角为 600

故答案为：

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