热门试卷

（1）详见解析；（2）．

试题分析：（1）由已知中F为CD的中点，易判断四边形ABCD为平行四边形，进而AF∥BC，同时EF∥SC，再由面面平行的判定定理，即可得到答案．（II）取AB的中点O，连接SO，以O为原点，建立如图所示的空间坐标系，分别求出平面SAC与平面ACF的法向量，代入向量夹角公式，即可求出二面角S-AC-F的大小．．

（1）分别是的中点，．又，所以．，……2分

四边形是平行四边形．．是的中点，．……3分

又，，平面平面……5分

（2）取的中点，连接，则在正中，，又平面平面，平面平面，平面．…6分

于是可建立如图所示的空间直角坐标系．

则有，，，，

，．…7分

设平面的法向量为，由．

取，得．……9分平面的法向量为．10分

   …11分而二面角的大小为钝角，

二面角的余弦值为 ．

（1）；（2）.

试题分析：此题可用向量法来求解.（1）由题意易知，则在平面内过点作交于点，分别以、、为轴，为原点建立空间直角坐标系，找出相应点的坐标，由直线与直线所成角为，求出点的坐标，从而可确定点的坐标，由平面内向量、可求得平面平面的法向量，平面法向量为，根据向量的数量积公式，可求出向量与夹角的余弦值，从而求出所求二面角的余弦值；（2）先求出平面的法向量，又点在平面内，可求出向量的坐标，由点到平面的向量计算公式可求得点到平面的距离.

试题解析：（1）∵∴．

在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）

由题意有，设，

则

由直线与直线所成的解为，得，

即，解得

∴，设平面的一个法向量为，

则，取，得，平面的法向量取为

设与所成的角为，则．

显然，二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为．   5分

（2），，，，．

设平面的一个法向量，则，

取，得，则点到平面的距离．     10分

(1) (2)

试题分析：(1) 连接，取的中点，连接，

要证平面，只要证，即可，由题设可得是等腰的底边上的中线，所以；另一方面由又可得出 

考虑到平面  平面，；问题得证.

(2)根据空间图形中已知的垂直关系，可以为坐标原点，射线为正半轴，建立如图所示的直角坐标系，写出点 ,分别求出平面 的一个法向量 和平面 的一个法向量，利用向的夹公式求二面角A—DM—C的余弦值

试题解析：

证明：连接，取的中点，连接，

由此知，即为直角三角形，故

又平面，故

所以，平面，                        2分

又，为的中点

                                    4分

                                  5分

平面                                  6分

以为坐标原点，射线为正半轴，建立如图所示的直角坐标系，        7分

则从而

设是平面的一个法向量，则

可取                                8分

同理，设是平面的一具法向量,则

可取                                  9分

                                    2分

显然二面角的大小为钝角，所以二面角的余弦值为.        12分

4、二面角的概念与法向量的求法.

解：因为,,，

所以，.  …………………………………………………...3分

设，则.  

由得=，即.     ………………………7分

解得，即.     ………………………………………………………9分

同理可得.    …………………………………………………………………11分

所以.   ………………………………………………………………….12分

略

（1）详见解析，（2），（3）

试题分析：（1）已知条件为面面垂直，，因此可利用定理转化为线面垂直.折叠前后皆有而平面，为两平面的交线，由平面ABD平面BCD，可得AE⊥平面BCD.（2）求二面角，有两个方法，一是做出二面角的平面角，二是利用空间向量.本题由于有AE⊥平面BCD，可利用三垂线定理及其逆定理做出二面角的平面角，即过点E作EM垂直CD于M，连AM，则AM垂直CD，所以为二面角的平面角.利用空间向量求二面角，关键求出面的法向量，由于平面可知平面DCB的法向量为.平面的法向量可列方程组求出，再利用向量的数量积求出其夹角的余弦值.（3）探索点，从线面平行性质定理出发，利用平面得EM平行过EM平面与平面的交线.由于过EM平面的任意性，难以确定M位置.本题利用空间向量解决就比较简单，设，利用法向量与平面内任一直线垂直，可解出，从而确定M位置.

试题解析：（1）因为平面平面，交线为，

又在中，于，平面

所以平面.                   3分

（2）由（1）结论平面可得.

由题意可知，又.

如图，以为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系

4分

不妨设，则.

由图1条件计算得，，，

则   5分

.

由平面可知平面DCB的法向量为.                 6分

设平面的法向量为，则

即

令，则，所以.                  8分

平面DCB的法向量为

所以，

所以二面角的余弦值为               9分

（3）设，其中.

由于，

所以，其中             10分

所以             11分

由，即             -12分

解得.              13分

所以在线段上存在点使，且.      14分

（1）根据向量的三角形法则得到

=++=++

（2）∵||2=(++)2

=

a

2+

b

2+

c

2+2•+•+•

=25+9+4+0+（20+12）•cos60°

=54

∴||=3，

即AE的长为3．

（1）证明：见解析；（2）的长为．

试题分析：（1）在中,应用余弦定理得,从而得到．

再利用⊥平面，平面

得．

由⊥平面，平面得到．

（2）建立空间直角坐标系,利用“空间向量方法”得到，解得．

试题解析：（1）证明：在中,

所以,由勾股定理知所以 ．   2分

又因为 ⊥平面，平面

所以 ．                                           4分

又因为 所以 ⊥平面，又平面

所以 ．                                           6分

（2）因为⊥平面，又由（1）知，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系 .

设，则,,，,，

.            8分

设平面的法向量为，则  所以

令.所以.                    9分

又平面的法向量                    10分

所以， 解得 ．          11分

所以的长为．                           12分