热门试卷

(1)------------------------------------------------------------------------1分

因为四边形是菱形，，为等边三角形。

因为是的中点，-------------------2分

平面，---------3分

,且

-----------------------------5分

-------------------------------------------------------------6分

（2）由（1），，为直角三角形，----------7分

中，，

当最短时，即时，面积的最小----  -------8分

此时，．

又，所以， 所以．------------------10分

---------------------------------------------------------------12分

略

（1）参考解析;（2）

试题分析：（1）依题意可得.即翻折后的.所以由.可得.又因为,所以可得：平面.

（2）依题意建立空间直角坐标系,由平面APQ写出其法向量.假设点E(m,n,0),根据平面APE写出其法向量.再由二面角E-AP-Q的余弦值为,可得到关于m,n的方程m+2n-6=0.再由点B到直线的距离公式即可得到结论.

（1）在正方形中，因为，

所以三棱柱的底面三角形的边．

因为，，所以，所以．

因为四边形为正方形，，所以，而，

所以平面．----------- 4分

（2）因为,,两两互相垂直．以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则，，，，，

所以，，

设平面的一个法向量为．

则由，即令，

则．所以．

设点E(m,n,0),

.由得:m+2n-6=0

所以|BE|的最小值为点B到线段: m+2n-6="0" 的距离------- 13分

（1）；（2）详见解析；（3）.

试题分析：（1）将侧面和侧面沿着展开至同一平面上，利用、、三点共线结合余弦定理求出的最小值，即线段的长度；（2）证平面，从而得到，同理得到，进而证明、在以为直径的圆上；（3）方法一是建立以点为坐标原点，分别以、、所在的直线为、、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法求平面与平面所成的锐二面角的余弦值；方法二是延长与使得它们相交，找出二面角的棱，然后利用三垂线法找出平面与平面所成的锐二面角的平面角，利用直角三角函数来求相应角的余弦值.

试题解析：（1）将侧面绕侧棱旋转到与侧面在同一平面内，如下图示，

则当、、三点共线时，取最小值，这时，的最小值即线段的长，

设，则，

在中，，，

在三角形中，有余弦定理得：

，

，

（2）底面，，又

平面，又平面，，

又，平面，

又平面，，

同理，、在以为直径的圆上；

（3）方法一：如图，以为原点，分别以、、所在的直线为、、轴，建立空间直角坐标系如下图示，则，，由（1）可得，，平面，

为平面的一个法向量，

为平面的一个法向量，

设平面与平面所成的锐二面角的平面角为，

则，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值；

方法二： 由可知，故，

又面，

面，面，

设平面平面，平面，，

，，

又，平面，又平面，

，，

为平面与平面所成的锐二面角的一个平面角，

，

平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

(1)证明： E、F分别是D1D、D1B的中点

又面ABCD，DB面ABCD

EF// 面ABCD

(2)在正方体中，DD1面ABCD

 AC面ABCD

ACDD1

正方形ABCD， ACDB

又DD1DB=D，

DD1，DB平面

平面

略

（1）证明：见解析；（2）直线与平面所成角的正弦值为．

试题分析：（1）注意到平行四边形中，，，，

沿直线将△翻折成△后，，，

由给定了，得．再根据平面⊥平面，平面平面即得证；

（2）由（1）知平面，且，因此，可以为原点，建立空间直角坐标系．

确定平面法向量为，

设直线与平面所成角为，即得所求．

试题解析：（1）平行四边形中，，，，

沿直线将△翻折成△

可知，，，

即，

．                                2分

∵平面⊥平面，平面平面，

平面，∴平面．              5分

（2）由（1）知平面，且，

如图，以为原点，建立空间直角坐标系．          6分

则，，，．

∵是线段的中点，

∴，．

在平面中，，，

设平面法向量为，

∴ ，即，

令，得，故．   9分

设直线与平面所成角为，则

．              11分

∴ 直线与平面所成角的正弦值为．          12分

（1）详见解析；（2）．

试题分析：（1）要想证明线面平行，由线面平行的判定定理可知：只需证明此直线与平面内的某一直线平行即可，考虑到E为PC的中点，所以取中点为,连接和AF;然后利用三角形的中位线的性质及空间中平行线的传递性可证BE//AF,再注意BE在平面PAD外,而AF在平面PAD内,从而可证BE∥平面PAD；（2）由已知可知直线DA、DC、DP两两互相垂直，所以我们可以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．从而由已知就可写出点Ｐ、C、A、B的坐标.进而因为E是PC的中点，求出E的坐标，然后就可写出平面BDE内不共线的两个向量的坐标，如，再设出平面BDE的一个法向量为，利用可求出平面BDE的一个法向量；而平面BDC的一个法向量显然为：，从而利用两法向量的夹角公式：就可求得所求二面角的余弦值．

试题解析：（1）证明：令中点为，连接，     1分

点分别是的中点，

,.

四边形为平行四边形.   2分

,平面,

平面                4分

(三个条件少写一个不得该步骤分）   

 　　　　       5分

（2）以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系（如图）．

则.     

因为E是PC的中点，所以E的坐标为               6分

设平面DBE的一个法向量为，而

则令则所以             9分

而平面DBC的一个法向量可为

故                 12分

所以二面角E-BD-C的余弦值为。     13分

(1)见解析；（2）.

试题分析：（1）(1) 利用三角形中位线定理，得出∥ .

（2）利用平几何知识，可得一些线段的长度及，进一步以为轴建立坐标系，

得到，

确定面与面的法向量、：

由，可得令；

由又，可得令，进一步得到.

本题首先探究几何体中的线面、线线垂直关系，创造建立空间直角坐标系的条件，应用“向量法”，确定二面角的余弦值.

解答本题的关键是确定“垂直关系”，这也是难点所在，平时学习中，应特别注意转化意识的培养，能从“非规范几何体”，探索得到建立空间直角坐标系的条件.

试题解析：(1)因为、分别为、的中点，

所以∥        2分

因为面，面

所以∥面        4分

（2）因为

所以

又因为为的中点

所以

所以

得，即     6分

因为，所以

分别以为轴建立坐标系

所以

则   8分

设、分别是面与面的法向量

则，令

又，令     11分

所以     12分

（1）证明过程详见试题解析；（2）.

试题分析：（1）连结交于点，连结.由长度比例关系可知,得到.再根据线面平行的判定得到;（2）方法一：采用空间向量法，以点为坐标原点，为轴，垂直为轴，所在直线为轴建立空间直角坐标系，设，那么点确定.再根据向量关系求出二面角的平面角的余弦值为；方法二：纯几何法，取的中点,延长交的延长线于点,根据三角形相似关系可以得到二面角的平面角为.

试题解析：（1）连结,交于点,连结， 

∵，， ∴

又 ∵, ∴

∴ 在△BPD中，

∴∥平面

（2）方法一：以为原点，所在直线分别为轴、轴，如图建立空间直角坐标系.

设，则，，，，．

设为平面的一个法向量，

则，，∴，

解得，∴．

设为平面的一个法向量，则，，

又，，∴，

解得，∴ 

∴二面角的余弦值为．

方法二：在等腰Rt中，取中点，连结，则 

∵面⊥面，面面=，∴平面．

在平面内，过作直线于，连结，由、，

得平面，故．

∴就是二面角的平面角．

在中，设，，，

，，

由，可知：∽，

∴，  代入解得：．

在中，，

∴，．

∴二面角的余弦值为．

（1）详见解析；（2）所求二面角的余弦值为.

试题分析：（1）要使得AC∥平面DMF，需要使得AC平行平面DMF内的一条直线.为了找这条直线，需要作一个过AC而与平面DMF相交的平面.为此，连结CE，交DF于N，连结MN，这样只要AC∥MN即可.因为N为线段DF的中点，所以只需M是线段AE的中点即可.

（2）思路一、（综合法）首先作出它们的交线.过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，由于AC∥平面DMF，由线面平行的性质定理知AC∥l.为了求二面角，首先作出其平面角.作平面角第一步是过其中一个面内一点作另一个面的垂线，而要作垂线先作垂面.在本题中，由于平面平面，所以过点M作MG⊥AD于G，因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，则平面ADE⊥平面ABCD，所以MG⊥平面ABCD，过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，所以l⊥MH，故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角．在直角三角形MHG中求得可∠MHG的余弦值.（另外也可过点C作直线l的垂线）思路二、因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，所以可分别以，，的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz．然后利用空间向量求解.

（1）当M是线段AE的中点时，AC∥平面DMF．

证明如下：

连结CE，交DF于N，连结MN，

由于M、N分别是AE、CE的中点，所以MN∥AC，

由于MN平面DMF，又AC平面DMF，

所以AC∥平面DMF． 4分

（2）方法一、过点D作平面DMF与平面ABCD的交线l，由于AC∥平面DMF，可知AC∥l，

过点M作MG⊥AD于G，

因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，

所以DE⊥平面ABCD，则平面ADE⊥平面ABCD，

所以MG⊥平面ABCD，

过G作GH⊥l于H，连结MH，则直线l⊥平面MGH，所以l⊥MH，

故∠MHG是平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的平面角． 8分

设，则，，

，则， 11分

所以，即所求二面角的余弦值为． 12分

方法二、因为平面ABCD⊥平面CDEF，DE⊥CD，所以DE⊥平面ABCD，可知AD，CD，DE两两垂直，分别以，，的方向为x，y，z轴，建立空间直角坐标系O－xyz．

设，则，，，，

设平面MDF的法向量，

则所以

令，得平面MDF的一个法向量， 8分

取平面ABCD的法向量， 9分

由， 11分

故平面MDF与平面ABCD所成锐二面角的余弦值为． 12分