热门试卷

（1）答案详见解析；（2）

试题分析：空间向量在立体几何中的应用，最大的优点就是避开了传统立体几何中“如何添加辅助线”这个难点，使得操作更模式化、易操作.需根据已知条件寻找（或添加）三条共点的两两垂直的三条垂线，分别作为轴，建立空间直角坐标系.（1）由已知，以的方向作为轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标表示有关点，要证明AB∥平面CDE，只需证明垂直于面CDE的法向量即可．本题还可以利用线面垂直的判定定理证明；（2）分别求出面和面的法向量，并求法向量的夹角，利用余弦值等于列方程，求即可．

试题解析：（1）如图建立空间指教坐标系，则A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),

                          2分

设平面的一个法向量为，

则有，

取时，                    4分

，又不在平面内，所以平面；                       7分

（2）如图建立空间直角坐标系，则

A(0,0,0),B(2,0,0),C(1,1,),D(0,2,0),E(0,0,),

，

设平面的一个法向量为，

则有，取时，                  9分

又平面的一个法向量为，              10分

因为二面角的大小为，，

即，解得                      14分

又，所以．                       15分

（1）详见解析，（2）

试题分析：（1）证明线面平行，关键找线线平行.因为本题条件涉及中点较多，宜从中位线性质出发寻找.如取AD中点M，则有又所以平面=平面.本题也可从证面面平行出发，推出线面平行.（2）已知二面角平面角，求线面角，宜利用空间向量解决.先建立空间直角坐标系，设出各点的坐标，,,,,设,利用二面角G-EF-D的大小为求出，再利用空间向量数量积求线面角. 利用空间向量求角，关键是正确表示平面的法向量，明确向量夹角与二面角或线面角之间关系.

试题解析：(1)证明：是的中点时,////,//,//平面,

//平面,,平面//平面,平面,

//平面.                       (6分)

(2)建立如图所示的坐标系,则有,,,,设,

,,平面的法向量,则有

,解得. .

平面的法向量,依题意,

,

.于是.

平面的法向量,,

,则有

,解得. .

与平面所成角为,则有,

故有.                        (12分)

（1）见解析（2）（3）2

(1)以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系(如图)．设AB＝a，则A(0，0,0)，D(0,1,0)，D1(0,1,1)，

E，B1(a,0,1)，

故＝(0,1,1)，＝，＝(a,0,1)，＝.

∵·＝－×0＋1×1＋(－1)×1＝0，

∴B1E⊥AD1.

(2)假设在棱AA1上存在一点P(0,0，z0)(0≤z0≤1)，

使得DP∥平面B1AE.此时＝(0，－1，z0)．

又设平面B1AE的法向量n＝(x，y，z)．

由n⊥，n⊥，得.

取x＝1，得平面B1AE的一个法向量n＝

要使DP∥平面B1AE，只要n⊥，有－az0＝0，

解得z0＝.

又DP⊄平面B1AE，

∴存在点P，满足DP∥平面B1AE，此时AP＝.

(3)连接A1D，B1C，由长方体ABCD－A1B1C1D1及AA1＝AD＝1，得AD1⊥A1D.

∵B1C∥A1D，

∴AD1⊥B1C.

又由(1)知B1E⊥AD1，且B1C∩B1E＝B1，

∴AD1⊥平面DCB1A1，

∴是平面A1B1E的一个法向量，此时＝(0,1,1)．

设与n所成的角为θ，则

cos θ＝＝.

∵二面角A－B1E－A1的大小为30°，

∴|cos θ|＝cos 30°，即＝，

解得a＝2，即AB的长为.2

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要以四棱锥为几何背景考查线面垂直、面面垂直、向量法、线面角、四棱锥的体积等基础知识，考查空间想象能力、逻辑推理能力、计算能力.第一问，利用线面垂直的性质得PA⊥BD，又因为BD⊥PC，利用线面垂直的判定得到BD⊥平面PAC，最后利用面面垂直的判定得到平面PAC⊥平面EBD；第二问，由于BD⊥平面PAC，所以BD⊥AC，得到ABCD为菱形，根据垂直关系建立空间直角坐标系，得到相关的的坐标，从而得到相关向量的坐标，用向量法求出平面EBD的一个法向量，再利用夹角公式列出等式，在中，列出一个等式，2个等式联立，解出b和c的值，得到b和c即OB和OC边长后，即可求出面ABCD的面积，而PA是锥体的高，利用锥体的体积公式求出四棱锥的体积.

试题解析：（1）因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD．

又BD⊥PC，所以BD⊥平面PAC，

因为BDÌ平面EBD，所以平面PAC⊥平面EBD．     4分

（2）由（1）可知，BD⊥AC，所以ABCD是菱形，BC＝AB＝2．  5分

设AC∩BD＝O，建立如图所示的坐标系O-xyz，设OB＝b，OC＝c，

则P(0，－c，2)，B(b，0，0)，E(0，－c，1)，C(0，c，0)．

，，．

设n＝(x，y，z)是面EBD的一个法向量，则，

即取n＝(0，1，c)．         8分

依题意，．        ①

记直线PB与平面EBD所成的角为θ，由已知条件

．    ②

解得，c＝1．            10分

所以四棱锥P-ABCD的体积

．     12分

（1）证明过程详见解析；（2）.

试题分析：本题主要考查线线垂直、线面垂直、面面垂直、二面角、向量法等基础知识，考查学生的空间想象能力、逻辑推理能力和计算能力.第一问，先利用面面垂直的性质得到线面垂直垂直于圆所在的平面，再利用线面垂直的性质得到，而在圆内AB为直径，所以，利用线面垂直的判定得平面，最后利用线面垂直的性质得到结论；第二问，利用向量法，先根据已知条件中的垂直关系建立空间直角坐标系，得到有关点及向量的坐标，利用向量法中的公式，求出平面DCE和平面AEB的法向量，再利用夹角公式求夹角的余弦值.

试题解析：（1）∵平面垂直于圆所在的平面，两平面的交线为，平面，，∴垂直于圆所在的平面.又在圆所在的平面内，∴.∵是直角，∴，∴平面,∴.    6分

(2)如图，

以点为坐标原点，所在的直线为轴，过点与平行的直线为轴，建立空间直角坐标系.由异面直线和所成的角为，知，

∴，∴，由题设可知，，∴，.设平面的一个法向量为，

由，得，，取，得.

∴.又平面的一个法向量为，∴.

平面与平面所成的锐二面角的余弦值.    13分

（其他解法可参考给分）

（1）由y2=8x知2p=8，p=4．

由AB直线过焦点F和点（8，8），∴直线AB斜率为=

∴直线AB方程为y=（x-2），

由解得B点坐标为（，-2）

∴线段AB中点到准线的距离为 +p=+2=．

故答案为

（2）由共面向量定理，可设 =y+z，其中y，z∈R，于是代入点的坐标有：

（4-x，2，0）=y（-2，2，-2）+z（-1，6，-8），

得方程组：解得

故答案为11

（1）详见解析；（2）

试题分析：（1）由正方体的性质得，当时，证明，由平行于同一条直线的两条直线平行得，根据线面平行的判定定理证明平面；（2）解法1，如图2，连结，证明四边形与四边形是等腰梯形，分别取、、的中点为、、，连结、，证明是平面与平面所成的二面角的平面角，设存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，求出的值；解法2，以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，用向量法求解.

几何法：

（1）证明：如图1，连结，由是正方体，知，

当时，是的中点，又是的中点，所以，

所以，

而平面，且平面，

故平面.

（2）如图2，连结，因为、分别是、的中点，

所以，且，又，，

所以四边形是平行四边形，

故，且，

从而，且，

在和中，因为，，

于是，，所以四边形是等腰梯形，

同理可证四边形是等腰梯形，

分别取、、的中点为、、，连结、，

则，，而，

故是平面与平面所成的二面角的平面角，

若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，则，

连结、，则由，且，知四边形是平行四边形，

连结，因为、是、的中点，所以，

在中，，，

，

由得，解得，

故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.

向量法：

以为原点，射线分别为轴的正半轴建立如图3的空间直角坐标系，

由已知得，

所以，，，

（1）证明：当时，，因为，

所以，即，

而平面，且平面，

故直线平面.

（2）设平面的一个法向量，

由可得，于是取，

同理可得平面的一个法向量为，

若存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角，

则，

即，解得，

故存在，使平面与平面所成的二面角为直二面角.

（1）详见解析；（2）.

试题分析：（1）连接，利用平行线的传递性结合得到，再利用点为的中点得到，从而证明四边形为平行四边形，从而得到，最终结合直线与平面的判定定理证明平面；（2）建立以点为坐标原点，以、、所在直线为轴、轴、轴的空间直角坐标系，利用空间向量法来求二面角的余弦值.

试题解析：（1），，，，

，，

由于，因此连接，由于，，

在平行四边形中，是线段的中点，则，且，

因此，且，所以四边形为平行四边形，，

又平面，平面，平面；

（2），，

又平面，、、两两垂直。

分别以、、所在直线为轴、轴、轴建立如图所示的空间直角坐标系，

则、、、，

故，，又，，.

设平面的法向量，

则，，取，得，所以，

设平面的法向量，则

，∴，取，得，所以，

所以

故二面角的余弦值为.