空间向量及其运算
共1844题

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题型：填空题

填空题

已知向量=（，1），=（0，-1），=（k，）。若与共线，则k= ______ __.

正确答案

解：，由与共线得，解得

题型：填空题

填空题

已知向量，，则与所成角θ的取值范围为

正确答案

试题分析：因为，，在平面直角坐标系中标出，如图：

由图知，向量在y轴和之间，所以与所成角θ的取值范围为。

考点：

点评：此题利用数形结合来求角的范围。我们要注意两个向量的夹角为。

题型：填空题

填空题

已知向量a＝(1，)，b＝(－2，－2)，则|a＋b|的值为________．

正确答案

因为向量a＝(1，)，b＝(－2，－2)，则|a＋b|=，故答案为2.

题型：简答题

简答题

在中，已知．

（1）求证：；

（2）若求A的值．

正确答案

（1）见解析（2）。

【考点】平面微量的数量积，三角函数的基本关系式，两角和的正切公式，解三角形。

（1）先将表示成数量积，再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明。

（2）由可求，由三角形三角关系，得到，从而根据两角和的正切公式和（1）的结论即可求得A的值

解：（1）∵，∴，即。由正弦定理，得，∴。

又∵，∴。∴即。

（2）∵，∴。∴。

∴，即。∴。

由（1），得，解得。

∵，∴。∴

题型：填空题

填空题

已知点A（1，0），B（0，2），C（-1，-2），则平行四边形ABCD的顶点D的坐标为▲_.

正确答案

(0,-4)

解：利用向量相等可得。

题型：填空题

填空题

若，且∥，则锐角 ▲ ．

正确答案

解：

题型：填空题

填空题

设，向量且，则= ．

正确答案

试题分析：由,得，所以.

题型：简答题

简答题

已知A（0，3）、B（-1，0）、C（3，0），求D点的坐标，使四边形ABCD为直角梯形（A、B、C、D按逆时针方向排列）.

正确答案

（3，3）或.

要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边两种情况，借助向量垂直的坐标表示即可求解.设所求点D的坐标为（x，y），如图所示，由于kAB=3，kBC=0，

∴kAB·kBC=0≠-1，即AB与BC不垂直，故AB、BC都不可作为直角梯形的直角边.…2分

①若CD是直角梯形的直角边，则BC⊥CD，AD⊥CD，

∵kBC=0，∴CD的斜率不存在，从而有x=3.

又kAD=kBC，∴=0，即y=3. 此时AB与CD不平行.

故所求点D的坐标为（3，3）. ………………7分

②若AD是直角梯形的直角边，

则AD⊥AB，AD⊥CD，kAD=，kCD=.由于AD⊥AB，∴·3=-1.

又AB∥CD，∴=3.解上述两式可得此时AD与BC不平行.故所求点D的坐标为, 综上可知，使ABCD为直角梯形的点D的坐标可以为（3，3）或

题型：填空题

填空题

已知向量若，则m＝ .

正确答案

-1

试题分析：∵，∴，又，且，∴，∴m=-1

点评：熟练运用向量的坐标运算法则是解决此类问题的关键

题型：简答题

简答题

已知A、B、C为三个锐角，且A＋B＋C＝π.若向量＝(2－2sinA，cosA＋sinA)与向量＝(cosA－sinA，1＋sinA)是共线向量.（Ⅰ）求角A；（Ⅱ）求函数y＝2sin2B＋cos的最大值.

正确答案

(Ⅰ)A＝ (Ⅱ) ymax＝2.

（Ⅰ）∵、共线，∴(2－2sinA)(1＋sinA)＝(cosA＋sinA)(cosA－sinA)，则sin2A＝，又A为锐角，所以sinA＝，则A＝.

（Ⅱ）y＝2sin2B＋cos＝2sin2B＋cos

＝2sin2B＋cos(－2B)＝1－cos2B＋cos2B＋sin2B

＝sin2B－cos2B＋1＝sin(2B－)＋1.

∵B∈(0，)，∴2B－∈(－，)，∴2B－＝，解得B＝，ymax＝2.

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