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(1) CE="1" (2)证明略（3）A1B与平面BDE所成角的正弦值为

（1） 如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系D—xyz.

∴D（0，0，0），A（2，0，0），B（2，2，0），

C（0，2，0），A1（2，0，4），

B1（2，2，4），C1（0，2，4），D1（0，0，4）.

设E点坐标为（0，2，t），则=（-2，0，t），=（-2，0，-4）.

∵BE⊥B1C，

∴·=4+0-4t=0.∴t=1，故CE=1.

（2）由（1）得，E（0，2，1），=（-2，0，1），

又=（-2，2，-4），=（2，2，0），

∴·=4+0-4=0，

且·=-4+4+0=0.

∴⊥且⊥，即A1C⊥DB，A1C⊥BE，

又∵DB∩BE=B，∴A1C⊥平面BDE.

即A1C⊥平面BED.

（3） 由（2）知=（-2，2，-4）是平面BDE的一个法向量.又=（0，2，-4）,

∴cos〈,〉==.

∴A1B与平面BDE所成角的正弦值为.

（Ⅰ）如图所示：C（2，0，0），S（0，0，1），O（0，0，0），B（1，1，0），

………3分

………6分

（Ⅱ）①

…10分

②∵，为平面SBC的法向量，

略

（Ⅰ）详见解析；(Ⅱ) .

试题分析：（Ⅰ）依题意，设与的交点，说明为的中位线，//，从而//；(Ⅱ) 用定义法与向量法求解，用定义法，必须作出二面角的平面角，在利用相似三角形对应边成比例及直角三角形中三角函数的定义求解；用向量法，需要建立恰当的空间直角坐标系，本题以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系最佳，求平面的法向量与平面的一个法向量为， 利用公式求解.

试题解析：（Ⅰ）证明： 连接，设与相交于点，连接，

∵ 四边形是平行四边形，∴点为的中点．

∵为的中点，∴为的中位线，

∴//，             2分

∵，

∴//．          4分

(Ⅱ) 解法一 ： ∵平面，//， 则平面，故，

又, 且，

∴ ．               6分

取的中点，连接，则//，且 ．

∴ ．

作，垂足为，连接，由于，且，

∴，∴ ．

∴为二面角的平面角．    9分

由∽，得，得，

在中，．

∴ 二面角的余弦值为．      12分

(Ⅱ) 解法二： ∵平面，， 则平面，故，

又, 且，∴．            6分

以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，轴和轴，建立空间直角坐标系．则，，，，， 

∴， ，

求得平面的法向量为，

又平面的一个法向量为，

∴  .    

∴ 二面角的余弦值为.    12分

（Ⅰ）见解析；

（II）当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

试题分析：（Ⅰ）通过连接，应用三角形的中位线定理得到证明得到 面．

（II）利用空间直角坐标系，确定平面的一个法向量，而平面的法向量，得到，确定出点在线段的中点时，二面角的余弦值为.解答此类问题，要注意发现垂直关系，建立适当地直角坐标系，以简化解题过程.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，设，连接，

由三角形的中位线定理可得：，

∵平面，平面，∴平面．

（II）建立如图空间直角坐标系，

在中，斜边,得，所以，.

设，得.

设平面的一个法向量，由得，

取，得.

而平面的法向量，所以由题意，即，

解得（舍去）或，所以，当点在线段的中点时，二面角的余弦值为.

（1）异面直线和所成角的余弦值为;（2）二面角的大小为.

试题分析：（1）建立如图所示坐标系,写出各点的空间坐标，利用，夹角的余弦，得出两异面直线和所成角的余弦值. （2）利用平面的法向量与平面的法向量的夹角，求出二面角的大小.

试题解析：

解：取的中点，连接，为等边三角形，

，又平面平面， 2分

以为原点，过点垂直的直线为轴，为轴， 为轴建立如图所示的空间直角坐标系.，不妨设,依题意可得：

 3分

（1）,

从而 ,

 5分

于是异面直线和所成角的余弦值为.6分

（2）因为，所以是平面的法向量，8分

设平面的法向量为，又，

由 即，令得 10分

于是 11分

从而二面角的大小为.                     12分

(1)见解析；(2).

试题分析：(1)先利用直线与平面垂直的性质定理，得到 和 ，因为 ，所以利用直线与平面垂直的判定定理可知， ；(2)首先分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系，由直线与平面垂直的性质定理得到，那么矩形为正方形，由此可知此正方形的边的长度，根据坐标系表示四棱锥出各个顶点的坐标，分别求出平面和平面的法向量的坐标，根据二面角与其法向量夹角的关系，求得二面角的余弦值，再由同角三角函数的基本关系得到所求二面角的正切值.

试题解析：(1)证明　∵，，∴．2分

同理由，可证得．

又，∴．                               4分

(2)如图，分别以射线，，为轴，轴，轴的正半轴建立空间直角坐标系．

由(1)知，又， ∴．

故矩形为正方形，∴．     6分

∴．

∴．

设平面的一个法向量为，则，即，

∴，取，得．

∵，∴为平面的一个法向量．10分

所以．                  11分

设二面角的平面角为，由图知，，所以．

∴ 所以，即二面角的正切值为．    12分

（1）证明线面平行，关键是证明线线平行，然后结合判定定理得到。

（2）

试题分析：（1）连接

，

四边形为平行四边形

又平面

平面                            3分

（2）以为原点，AB、AD、AP为x、y、z方向建立空间直角坐标系．

易得,则、、         5分

 ，，

由此可求得平面的法向量            7分

又平面的法向量

，两平面所成锐二面角的余弦值为．        10分

点评：主要是考查了线面平行的判定以及二面角的平面角的求解，属于基础题。

（1），（2）

试题分析：法一：空间向量法。（1）以为坐标原点，以所在直线分别为轴建立空间直角坐标系。根据已知条件得点的坐标，再得向量的坐标。用向量数量积公式求向量所成角的余弦值，但应注意空间两异面直线所成的角为锐角或直角，所以两异面和所成角的余弦值为向量所成角的余弦值的绝对值。（2）根据题意设，根据，可得的值，根据比例关系即可求得的值。法二：普通方法。（1）根据异面直线所成角的定义可过点作//交于，则（或其补角）就是异面直线与所成的角. 因为//且//,则四边形为平行四边形，则，，故可在中用余弦定理求。（2）由可得，过作，为垂足。易得证平面，可得，从而易得证//，可得，即可求的值。

试题解析：解法一：

（1）如图所示，以点为原点建立空间直角坐标系，

则故

故异面直线与所成角的余弦值为.

（2）设

在平面内过点作，为垂足，则

，∴

解法二：

（1）在平面内，过点作//交于，连结，则（或其补角）就是异面直线与所成的角.

在中，

由余弦定理得，

∴异面直线与所成角的余弦值为.

（2）在平面内，过作，为垂足，连结，又因为

∴平面， ∴

由平面平面，∴平面 ∴//

由得，∴

，∴.

（1）见解析（2）

(1)∵PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC.∵AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.

∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.

又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC.

∵AC⊂平面EAC，

∴平面EAC⊥平面PBC.

(2)如图，以点C为原点，，，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，

则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，

则E，＝(1,1,0)，＝(0,0，a)，＝.取m＝(1，－1,0)，则m·＝m·＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·＝n·＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sin θ＝|cos〈，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为