热门试卷

（1）根据线面垂直的性质定理来证明线线垂直。

（2）

试题分析：解析：（1）在图1中， 可得， 从而，

故.

取中点连结， 则， 又面面，

面面， 面， 从而平面.

∴，又， .

∴平面.

（2）建立空间直角坐标系如图所示，

则， ， ，，

.

设为面的法向量，则即， 解得. 令， 可得.

又为面的一个法向量，∴.

∴二面角的余弦值为.

（法二）如图，取的中点，的中点，连结.

易知，又，，又，.

又为的中位线，因，，，且都在面内，故，故即为二面角的平面角.

在中，易知；

在中，易知，.

在中.

故.

∴二面角的余弦值为.

点评：主要是考查了运用向量法来空间中的角以及垂直的证明，属于基础题。

（1）在直四棱柱ABCD-ABCD中，取A1B1的中点F1，

连接A1D，C1F1，CF1，因为AB="4," CD=2,且AB//CD，

所以CDA1F1，A1F1CD为平行四边形，所以CF1//A1D，

又因为E、E分别是棱AD、AA的中点，所以EE1//A1D，

所以CF1//EE1，又因为平面FCC，平面FCC，

所以直线EE//平面FCC.

（2）因为AB="4," BC="CD=2," 、F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形,取CF的中点O,则OB⊥CF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1⊥平面ABCD,所以CC1⊥BO,所以OB⊥平面CC1F,过O在平面CC1F内作OP⊥C1F,垂足为P,连接BP,则∠OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在△BCF为正三角形中,,在Rt△CC1F中, △OPF∽△CC1F,∵∴,

在Rt△OPF中,,,所以二面角B-FC-C的余弦值为.

解法二:（1）因为AB="4," BC="CD=2," F是棱AB的中点,

所以BF=BC=CF,△BCF为正三角形, 因为ABCD为

等腰梯形,所以∠BAC=∠ABC=60°,取AF的中点M,

连接DM,则DM⊥AB,所以DM⊥CD,

以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,

,则D（0,0,0）,A（,-1,0）,F（,1,0）,C（0,2,0）,

C1（0,2,2）,E（,,0）,E1（,-1,1）,所以,,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE//平面FCC.

（2）,设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则,

,, 

所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为

略

（1）对于线面垂直的证明，一般要通过线线垂直来分析证明，关键是对于，

（2）3

试题分析：解析:(Ⅰ)因为平面,平面,所以.又因为平面,平面,所以.而,平面,平面,所以平面.                                 

5分 

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知平面,而平面,所以,而为矩形,所以为正方形,于是.

法1:以点为原点,、、为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系.则、、、,于是,.设平面的一个法向量为,则,从而,令,得.而平面的一个法向量为.所以二面角的余弦值为,于是二面角的正切值为3.                                      13分

法2:设与交于点,连接.因为平面,平面,平面,所以,,于是就是二面角的平面角.又因为平面,平面,所以是直角三角形.由∽可得,而,所以,,而,所以,于是,而,于是二面角的正切值为.

点评：主要是考查了空间几何体中线面垂直的证明，以及二面角的平面角的求解，属于中档题。

（1）（2）详见试题解析; 

试题分析：（Ⅰ）要证线线垂直只要证明线面垂直,利用题中数据求出底面平行四边形的各边的长度,找到 及 是等腰三角形，利用等腰三角形中线是高结论找到“线线垂直”关系（Ⅱ）要找线面平行先找线线平行,要找线线平行先找面面交线，即平面 与平面交线 ， 注意到为中点的特点，即可导致∥，从而推出线面平行 （Ⅲ）建立空间直角坐标系，确定关键点的坐标，再运用空间向量进行运算.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接AC， ，

由余弦定理得，  2分

取中点，连接，则.

面       4分

（Ⅱ）当为的中点时，面

证明：连接 ，在中，∥  ，又 平面 ，

平面面， 平面.  7分

（3）如图，以射线OA为X轴，以射线OB为轴，以射线OS为轴，以为原点，建立空间直角坐标系,则．

，9分

设平面法向量为

有令 ，则，

   11分   

所以直线与面所成角的正弦值为12分

（1）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系， ∴ ∴∴

∴  ， 即（2）

试题分析：以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系

（1）证明:设E是BD的中点，P—ABCD是正四棱锥，

∴ 

又， ∴ ∴

∴

∴  ， 即.

（2）解:设平面PAD的法向量是，

∴    取得，

又平面的法向量是

∴   ， ∴.

点评：要证两直线垂直只需证明两直线的方向向量数量积为0，求二面角时首先找到两个半平面对应的法向量，求出法向量夹角，进而转化为平面角

（Ⅰ）以O点为原点，以的方向为轴的正方向，建立如图所示的坐标系，则，，，，

，     

（Ⅱ）设平面EOF的法向量为，则

，即，令，则，

得，

又平面FOA的法向量 为 ，，

二面角E-OF-A的余弦值为.                            

（Ⅲ），

∴点D到平面EOF的距离为. 

略

证明略

 设=a，=b，=c

则a、b、c两两垂直且模相等.

∴a·b=b·c=a·c=0，

又∵=NB1

∴==b，

=+=a+b,

=++=-a+b+c,

∴·=（a+b）·（b+c-a）

=- =0.

∴MN⊥MC，

又=+ =+（b+c）=（a+b+c），

=+=-a+c.

∴·=（a+b+c）（c-a）=0.∴MP⊥B1C.

（Ⅰ）先证 （Ⅱ） （Ⅲ）

试题分析：（Ⅰ）平行四边形ABCD中，AB=6，AD=10，BD=8，

沿直线BD将△BCD翻折成△

可知CD=6，BC’=BC=10，BD=8，

即，

故．          

∵平面⊥平面，平面平面=，平面，

∴平面．        

（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ABD，且，

如图，以D为原点，建立空间直角坐标系．            

则，，，．

∵E是线段AD的中点，

∴，．

在平面中，，，

设平面法向量为，

∴，即，

令，得，故．            

设直线与平面所成角为，则

．           

∴直线与平面所成角的正弦值为．              

（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面的法向量为，

而平面的法向量为，

∴，

因为二面角为锐角，

所以二面角的余弦值为．

点评：本题重点考查线面垂直、线面角与二面角的平面角，以及翻折问题，学生必须要掌握在翻折的过程中，哪些是不变的，哪些是改变，这也是解决此类问题的关键．

(1) 二面角B—AD—F的大小为45° (2) 直线BD与EF所成的角的余弦值为

 （1）∵AD与两圆所在的平面均垂直，

∴AD⊥AB，AD⊥AF，

故∠BAF是二面角B—AD—F的平面角.

依题意可知，ABFC是正方形，

∴∠BAF=45°.

即二面角B—AD—F的大小为45°;

（2）以O为原点，CB、AF、OE所在直线为坐标轴，建立空间直角坐标系（如图所示），

则O（0，0，0），

A（0，-3，0），B（3，0，0），D（0，-3，8），

E（0，0，8），F（0，3，0），

∴=（-3，-3，8），=（0，3，-8）.

cos〈,〉= ==-.

设异面直线BD与EF所成角为，则

cos=|cos〈,〉|=.

即直线BD与EF所成的角的余弦值为.