热门试卷

(1) 点E的坐标是（1，1，1）(2) F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB

  (1)如图所示,以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

则A（2，0，0）、B（2，2，0）、C（0，2，0），

设P（0，0，2m），则E（1，1，m），

∴=（-1，1，m），

=（0，0，2m）.

∴cos〈,〉==.

解得m=1,∴点E的坐标是（1，1，1）.

（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）.

则=（x-1，-1，z-1），

又=（2，0，0），=（0，2，-2）

∵EF⊥平面PCB

∴⊥，且⊥

即

∴

∴，∴F点的坐标为（1，0，0）

即点F是AD的中点时满足EF⊥平面PCB.

AB与平面BDF所成角的正弦值为.

以点B为原点，BA、BC、BE所在的直线分别为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则

B（0，0，0），A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，2，1），E（0，0，2），F（1，0，1）.

∴=（0，2，1），=（1，-2，0）.

设平面BDF的一个法向量为

n=（2，a，b），

∵n⊥，n⊥，

∴

即

解得a=1，b=-2.∴n=（2，1，-2）.

设AB与平面BDF所成的角为，则法向量n与的夹角为-，

∴cos（-）===,

即sin=,故AB与平面BDF所成角的正弦值为.

（1）见解析（2）

(1)证明　

法一　取A1B1的中点F1，连接FF1，C1F1，由于FF1∥BB1∥CC1，

所以F1∈平面FCC1，

因此平面FCC1，即为平面C1CFF1.，连接A1D，F1C，由于 CD，

所以四边形A1DCF1为平行四边形，因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，得EE1∥F1C.

而EE1⊄平面FCC1，F1C⊂平面FCC1，故EE1∥平面FCC1.

法二　因为F为AB的中点，CD＝2，AB＝4，AB∥CD，所以CDAF.

因此四边形AFCD为平行四边形，所以AD∥FC.

又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC⊂平面FCC1，CC1⊂平面FCC1，

所以平面ADD1A1∥平面FCC1.又EE1⊂平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.

(2)解　法一　取FC的中点H，由于FC＝BC＝FB，所以BH⊥FC.又BH⊥CC1，CC1∩FC＝C.所以BH⊥平面FCC1.过H作HG⊥C1F于G，连接BG.由于HG⊥C1F，BH⊥平面FCC1，所以C1F⊥平面BHG.因此BG⊥C1F，所以∠BGH为所求二面角的平面角．在Rt△BHG中，BH＝，

又FH＝1，且△FCC1为等腰直角三角形，所以HG＝，BG＝＝，因此cos∠BGH＝＝＝，

即所求二面角的余弦值为.

法二　过D作DR⊥CD交AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则F(，1,0)，B(，3,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)．

所以＝(0,2,0)，＝(－，－1,2)，＝(，3,0)．

由FB＝CB＝CD＝DF，所以DB⊥FC.又CC1⊥平面ABCD，

所以为平面FCC1的一个法向量．

设平面BFC1的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则由得即取x＝1，得

因此n＝，所以cos〈，n〉＝=.

故所求二面角的余弦值为.

（1）利用两直线的方向向量垂直证明线线垂直；（2）；（3）．

试题分析：因为AB中点O为点P在平面ABCD内的射影，所以PO⊥底面ABCD．以O为坐标原点，AB所在直线为x轴，OP所在直线为z轴，建立空间直角坐标系o﹣xyz（如图）．

（1）设BC=a，OP=h则依题意得：B（a，0，0），A（﹣a，0，0），P（0，0，h），C（a，a，0），D（﹣a，2a，0）．

∴=（2a，a，0），=（﹣a，2a，﹣h），

于是•=﹣2a2+2a2=0，∴PD⊥AC； 4分

（2）由PO=BC，得h=a，于是P（0，0，a），5分

∵=（2a， 0，0），=（﹣a，2a，﹣a），

∴•=﹣2a2，cos＜，＞==，

∴直线PD与AB所成的角的余弦值为； -8分

（3）设平面PAB的法向量为m，可得m=（0，1，0），

设平面PCD的法向量为n=（x，y，z），

由=（a，a，﹣h），=（﹣a，2a，﹣h），

∴，解得n=（1，2，），∴m•n=2，

cos＜m，n＞=，∵二面角为60°，∴=4，

解得=，即=．       12分

点评：运用向量在解决立体几何问题主要集中在法向量的应用上，它可以证明空间线面的位置关系、求解空间角、距离.同时运用空间向量解答立体几何问题，淡化了传统立体几何中的“形”的推理方法，强化了代数运算，从而降低了思维难度

(1) DP与CC′所成的角为45°(2) DP与平面AA′D′D所成的角为30°

  如图所示，以D为原点，DA为单位长度建立空间直角坐标系D—xyz.

则=（1，0，0），=(0,0,1).

连接BD,B′D′.

在平面BB′D′D中,

延长DP交B′D′于H.

设="(m,m,1)" (m＞0),由已知〈,〉=60°,

由·=||||cos〈, 〉,

可得2m=.

解得m=,所以=（,,1）.

(1)因为cos〈,〉==,

所以〈,〉=45°,

即DP与CC′所成的角为45°.

(2)平面AA′D′D的一个法向量是=(0,1,0).

因为cos〈,〉==,

所以〈,〉=60°,

可得DP与平面AA′D′D所成的角为30°.

因为三棱柱是正三棱柱，所以平面，

又平面，所以，……………………………………… 2分

又点是棱的中点，且为正三角形，所以，

因为，所以平面，………………………………4分

又因为平面，所以．………………………………6分

(2)连接交于点，再连接．………7分

因为四边形为矩形，

所以为的中点，………………8分

又因为为的中点，

所以.………………………10分

又平面，平面，

所以平面．

略

⑴分别以所在直线为轴，过点且与平面  垂直的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．…………………………………………2分

设，则，

所以，………4分

所以，

所以．…………………………8分

⑵，设平面的法向量，

则有即令，则，…………………12分

，…………………14分

所以，直线与平面所成的角为．…………………………………16分

略

见解析

如图建立空间直角坐标系，

则＝（－1，1，0），＝（－1，0，－1）

＝（1，0，1）， ＝（0，－1，－1）

　　　设，，（、、，且均不为0）

设、分别是平面A1EF与平面B1MC的法向量，

  由      可得     即   

解得：＝（1，1，－1）

   由     可得     即   

解得＝（－1，1，－1），所以＝－， ∥，

所以平面A1EF∥平面B1MC．

注：如果求证的是两个平面垂直，也可以求出两个平面的法向量后，利用⊥来证明．