- 万有引力定律及其应用
- 共7173题
在地球表面圆轨道运行的人造地球卫星，绕行一周所用时间为T，那么地球的密度为______，若地月的密度之比约为5：3，则卫星在月球表面绕行一周需要的时间为______．（万有引力恒量为G，球体积公式为
正确答案
在地球表面圆轨道运行的人造地球卫星，绕行一周所用时间为T，
根据万有引力提供向心力列出等式
M=
密度ρ=
若地月的密度之比约为5：3，
所以月球的密度是
故答案为：
神奇的黑洞是近代引力理论所预言的一种特殊天体，探寻黑洞的方案之一是观测双星系统的运动规律。天文学家观测河外星系大麦哲伦云时，发现了LMCX-3双星系统，它由可见星A和不可见的暗星B构成。两星视为质点，不考虑其它天体的影响，A、B围绕两者连线上的O点做匀速圆周运动，它们之间的距离保持不变，如图所示。引力常量为G，由观测能够得到可见星A的速率v和运行周期T。
（1）可见星A所受暗星B的引力FA可等效为位于O点处质量为m'的星体（视为质点）对它的引力，设A和B的质量分别为m1、m2，试求m'（用m1、m2表示）；
（2）求暗星B的质量m2与可见星A的速率v、运行周期T和质量m1之间的关系式；
（3）恒星演化到末期，如果其质量大于太阳质量ms的2倍，它将有可能成为黑洞。若可见星A的速率v=2.7×105m/s，运行周期T=4.7π×104s，质量m1=6ms，试通过估算来判断暗星B有可能是黑洞吗？（G=6.67×10－11 N·m2/kg2，ms=2.0×1030kg）
正确答案
解：（1）设A、B的圆轨道半径分别为r1、r2，由题意知，A、B做匀速圆周运动的角速度相同。设其为ω。由牛顿运动定律，有
设A、B之间的距离为r，又
由万有引力定律，有
将①代入得
令
比较可得
（2）由牛顿第二定律，有
又可见星A的轨道半径
由②③④式解得
（3）将
代入数据得
可见，
若使⑦式成立，则n必大于2，即暗星B的质量m2必大于2ms，由此得出结论：暗星B有可能是黑洞
宇宙中存在一些离其它恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为m。
（1）试求第一种形式下，星体运动的线速度和周期。
（2）假设两种形式星体的运动周期相同，第二种形式下星体之间的距离应为多少？
正确答案
解：（1）第一种形式下，由万有引力和牛顿第二定律得
解得
得
（2）第二种形式下，由万有引力和牛顿第二定律得
角速度：
解得
如图，质量分别为m和M的两个星球A和B在引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中心之间的距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A和B分别在O的两侧。引力常数为G。
（1）求两星球做圆周运动的周期；
（2）在地月系统中，若忽略其它星球的影响，可以将月球和地球看成上述星球A和B，月球绕其轨道中心运行的周期记为T1。但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动的，这样算得的运行周期记为T2。已知地球和月球的质量分别为5.98×1024kg和7. 35×1022kg，求T2与T1两者平方之比。（结果保留3位小数）
正确答案
解：（1）设两个星球A和B做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，相互作用的引力大小为f，运行周期为T。根据万有引力定律有
由匀速圆周运动的规律得
由题意有
联立①②③④式得
（2）在地月系统中，由于地月系统旋转所围绕的中心O不在地心，月球做圆周运动的周期可由⑤式得出
式中，M'和m'分别是地球与月球的质量，L'是地心与月心之间的距离。若认为月球在地球的引力作用下绕地心做匀速圆周运动，则
式中，T2为月球绕地心运动的周期。由⑦式得
由⑥⑧式得
代入数据得
4月12日为国际航天日，现计划发射一颗距离地面高度为地球半径R的圆形轨道地球卫星，卫星轨道平面与赤道平面重合，已知地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G．
（1）求地球质量M；
（2）求卫星绕地心运动周期T；
（3）设地球自转周期为T0，该卫星绕地运动方向与地球自转方向相同，则在赤道上某点的人能连续看到该卫星的时间是多少？（不考虑地球大气层的影响）
正确答案
（1）在地球表面的物体受到的重力等于万有引力mg=G
解得：M=
（2）卫星绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力：G
又因为mg=G
故解得：T=4π
（3）设赤道的人能连续看到卫星的时间为t，则：ωt-ω0t=
所以t=
将（2）中T代入得：t=
答：（1）地球质量M为
（2）卫星绕地心运动周期T为4π
（3）在赤道上某点的人能连续看到该卫星的时间是
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