热门试卷

解：（1）∵P（2，4）在曲线 上，且y'=x2∴在点P（2，4）处的切线的斜率k=y'|x=2=4；

∴曲线在点P（2，4）处的切线方程为y﹣4=4（x﹣2），即4x﹣y﹣4=0．

（2）设曲线 与过点P（2，4）的切线相切于点A（x0，），

则切线的斜率 ，

∴切线方程为y﹣（ ）=x02（x﹣x0），即

∵点P（2，4）在切线上，

∴4=2x02﹣，即x03﹣3x02+4=0，

∴x03+x02﹣4x02+4=0，

∴（x0+1）（x0﹣2）2=0

解得x0=﹣1或x0=2

故所求的切线方程为4x﹣y﹣4=0或x﹣y+2=0．

(1) 单调递增区间为 ，单调递减区间为 和；(2) ；(3)

试题分析：(1)求导，令导数大于0得增区间令导数小于0得减区间。(2) 对于任意都有成立，转化为对于任意都有。求时可根据求导求单调性求最值，也可直接根据二次函数问题求其单调区间再求其最值。(3)先在曲线上任取一点，根据导数的几何意义求其过此点的切线的斜率，再用点斜式求切线方程。将代入直线方程。分析可知此方程应有3个不同的解。将上式命名新函数，用单调性求此函数的极值点可知一个极值应大于0，另一个极值应小于0.

试题解析：(1)当时，函数，

得．                            1分

所以当时，，函数f(x)单调递增；                    2分

当x＜1或x＞2时，，函数f(x)单调递减．                      3分

所以函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 和 ．4分

(2)由，得，            5分

因为对于任意都有成立，

所以问题转化为对于任意都有．          6分

因为，其图象开口向下，对称轴为.

①当，即时，在上单调递减，

所以，

由，得，此时.                 7分

②当，即时，在上单调递增，在上单调递减，

所以，

由，得，此时.                 8分

综上可得，实数的取值范围为 ．                   9分

(3)设点是函数图象上的切点，

则过点的切线的斜率，                    10分

所以过点P的切线方程为，     11分

因为点在该切线上，

所以，

即.

若过点可作函数图象的三条不同切线，

则方程有三个不同的实数解．                    12分

令，则函数的图象与坐标轴横轴有三个不同的交点．

令，解得或.

因为，，                     13分

所以必须，即.

所以实数的取值范围为 ．                             14分

解：对于y=x2-1，有y′=x，k1=y′|x=x0=x0；

对于y=1+x3，有y′=3x2，k2=y′|x=x0=3x02，

又k1k2=-1，

则x03=-1，

∴x0=-1。

(1);(2)轮船应以50海里/小时的速度行驶.

试题分析：(1)由题意易列出速度与成本的函数；(2)由列出的函数利用导数求最值.(也可用均值不等式)

试题解析：

解：(1)由题意得：，

即：  6分

(2)由（1）知，

令，解得x=50,或x=-50(舍去).  8分

当时，

当时，（均值不等式法同样给分）  10分

因此，函数在x=50处取得极小值，也是最小值.

故为使全程运输成本最小，轮船应以50海里/小时的速度行驶.  12分

考点:导数的应用.