- 随机变量及其分布
- 共3822题
已知某地区数学考试的成绩X～N(60,82)（单位：分），此次考生共有1万人，估计在60分到68分之间约多少人？
正确答案
约3413人.
解：由题意
所以
又此正态曲线关于x=60对称，所以
从而估计在60分到68分之间约3413人.
在某市组织的一次数学竞赛中全体参赛学生的成绩近似服从正态分布N(60,100)，已知成绩在90分以上(含90分)的学生有13人．
(1)求此次参加竞赛的学生总数共有多少人？
(2)若计划奖励竞赛成绩排在前228名的学生，问受奖学生的分数线是多少？
正确答案
(1) 10000人 (2) 80分
解：(1)设学生的成绩为X，共有n人参加竞赛，
∵X～N(60,100)，∴μ＝60，σ＝10.
∴P(X≥90)＝
＝
又P(X≥90)＝
故此次参加竞赛的学生总数共有10000人．
(2)设受奖的学生的分数线为x0.
则P(X≥x0)＝
∵0.0228＜0.5，∴x0＞60.
∴P(120－x0＜X＜x0)＝1－2P(X≥x0)＝0.9544，
∴x0＝60＋20＝80.故受奖学生的分数线是80分．
设X～N(0,1)．
①P(－ε＜X＜0)＝P(0＜X＜ε)；
②P(X＜0)＝0.5；
③已知P(－1＜X＜1)＝0.6826，
则P(X＜－1)＝0.1587；
④已知P(－2＜X＜2)＝0.9544，
则P(X＜2)＝0.9772；
⑤已知P(－3＜X＜3)＝0.9974，
则P(X＜3)＝0.9987.
其中正确的有________(只填序号)．
正确答案
①②③④⑤
正态曲线关于y轴对称，故①②正确．
对于③，P(X＜－1)＝
＝
故③正确；对于④，P(X＜2)
＝
＝
故④正确，同理⑤正确．
如果对于任意实数a，b（a＜b），随机变量X满足P（a＜X≤b）=
正确答案
∵P（a＜X≤b）=
∴∫0-1ϕμ，σ（x）dx=P（-1＜X≤0）
∵若X～（0，1），P（X＞1）=p
P（-1＜X≤0）=
故答案为
某校某次数学考试的成绩X服从正态分布，其密度函数为f(x)=
（P（μ-σ＜X≤μ+σ）=0.6826，P（μ-2σ＜X≤μ+2σ）=0.9544，P（μ-3σ＜X≤μ+3σ）=0.9974）
正确答案
∵数学成绩近似地服从正态分布N（75，52），
且P（|x-u|＜2σ）=0.9544，
∴P（|x-75|＜10）=0.9544，
∴数学成绩在75--85分之间的成绩约为 
则密度曲线与直线x=75和直线x=85以及与x轴所围成的图形面积为 0.4772平方单位．
故答案为：0.4772．
设随机变量ξ服从正态分布N（0，1），记ϕ（x）=P（ξ＜x），给出下列结论：
①ϕ（0）=0.5；②ϕ（1）=1-ϕ（-1）；③ϕ（|ξ|＜3）=2ϕ（3）-1；④ϕ（|ξ|＞3）=1-ϕ（3）其中正确的序号是______．
正确答案
随机变量ξ服从正态分布N（0，1），曲线关于ξ=0对称，
记φ（x）=p（ξ＜x），
①φ（0）=P（ξ＜0）=0.5；故①正确，
②φ（1）=P（ξ＜1），1-φ（-1）=1-p（ξ＜-1）=1-1+p（ξ＜1）=p（ξ＜1），故②正确，
③ϕ（|ξ|＜3）=P（-3＜ξ＜3）=2P（ξ＜3）-1=2ϕ（3）-1═，故③正确
④p（|ξ|＞3）=P（ξ＞3或ξ＜-3）=ϕ（-3）+1-ϕ（3）=2-2ϕ（3），故④不正确
故答案为：①②③
设X～N（1，22），试求
（1）P（-1＜X≤3);
(2)P(3＜X≤5);
(3)P(X≥5).
正确答案
（1）0.682 6（2）0.135 9（3）0.022 8
∵X～N（1，22），∴
（1）P（-1＜X≤3)=P(1-2＜X≤1+2)=P（
（2）∵P（3＜X≤5)=P(-3＜X≤-1)
∴P(3＜X≤5)=
=
(3)∵P(X≥5)=P(X≤-3),
∴P(X≥5)=
=
在一次数学考试中，某班学生的分数服从X～N（110，202）且知满分为150分，这个班的学生共56人，求这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是______．
正确答案
∵期中考试数学成绩X服从N（110，202）正态分布，
∴P（110-2×20＜X＜110+2×20）=P（70＜X＜150）=0.954
P（110-1×20＜X＜110+1×20）=P（90＜X＜130）=0.683，
∴P（130＜X＜150）=
∴这个班在这次数学考试中130分以上的人数大约是56×0.1355≈8
故答案为：8．
举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似服从正态分布N（70，100），已知成绩在90分以上（含90分）的学生有12名，若Φ（2）=0.9772，则此次参赛生总人数约为______．
正确答案
设参赛学生的分数为ξ，因为ξ～N（70，100），
由条件知，P（ξ≥90）=1-P（ξ＜90）=1-φ（90）
=1-Φ (
这说明成绩在90分以上（含90分）的学生人数约占全体参赛人数的2.28%，
∴参赛总人数约为 
故答案为：526
已知随机变量X服从正态分布N(2，σ2)，且P(X<4)＝0.8，则P(0<X<2)＝________．
正确答案
0.3
P(X<4)＝0.8，则P(X>4)＝0.2，又因为分布图像关于直线x＝2对称，则P(X<0)＝P(X>4)＝0.2，则P(0<X<4)＝0.6，P(0<X<2)＝0.3.
设随机变量X服从N（0，1）,记
（1）
正确答案
见解析
由正态分布密度曲线的对称性可计算如下（也可借助图形理解）：
（1）
（2）<法一>
<法二>
在标准正态总体N（0，1）中，已知φ（1.98）=0.9762，则标准正态总体在区间（-1.98，1.98）内取值的概率为______．
正确答案
∵标准正态总体N（0，1）中，
正态曲线关于x=0对称，
∵φ（1.98）=0.9762，
∴P（-1.98＜x＜1.98）=1-2（1-0.9762）=0.9524
故答案为：0.9524．
某物体的温度
满足
正确答案
所以随机变量
已知正态分布总体落在区间(－∞，0.3)的概率为0.5，那么相应的正态曲线φμ，σ(x)在x＝________时达到最高点．
正确答案
0.3
∵P(X<0.3)＝0.5，∴P(X≥0.3)＝0.5，即x＝0.3是正态曲线的对称轴，
∴当x＝0.3时φμ，σ(x)达到最高点．
随机变量
正确答案
0.3413
略
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