2015年高考真题 理科数学 (江苏卷)
精品
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填空题 本大题共7小题,每小题5分,共35分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

3.设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为  

正确答案

解析

复数z满足z2=3+4i,可得|z||z|=|3+4i|==5,∴|z|=

故答案为:

考查方向

本题考查数系的扩充和复数,本题考查复数的模的求法。

解题思路

直接利用复数的模的求解法则,化简求解即可.

易错点

本题考查复数的模的求法,注意复数的模的运算法则的应用,考查计算能力

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算复数求模
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为  

正确答案

解析

由题意可知,原来圆锥和圆柱的体积和为:

设新圆锥和圆柱的底面半径为r,

则新圆锥和圆柱的体积和为:

,解得:

故答案为:

考查方向

本题考查了圆柱与圆锥的体积公式,是基础的计算题

解题思路

由题意求出原来圆柱和圆锥的体积,设出新的圆柱和圆锥的底面半径r,求出体积,由前后体积相等列式求得r.

易错点

本题考查了圆柱与圆锥的体积公式在计算半径时易错

知识点

棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积棱柱、棱锥、棱台的体积
1
题型:填空题
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分值: 5分

1.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为   

正确答案

5

解析

集合A={1,2,3},B={2,4,5},则A∪B={1,2,3,4,5};

所以A∪B中元素的个数为5;故答案为:5

考查方向

本题考查了并集及其运算.

解题思路

本题考查了并集及其运算.,计算过程中先求出A∪B,再明确元素个数.

易错点

题考查了集合的并集的运算,根据定义解答,注意元素不重复即可,属于基础题本题用集合中元素的互异性时发生错误.

知识点

补集及其运算
1
题型:填空题
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分值: 5分

7.不等式2<4的解集为     

正确答案

(﹣1,2)

解析

;∵2<4,∴x2﹣x<2,即x2﹣x﹣2<0,

解得:﹣1<x<2,故答案为:(﹣1,2)

考查方向

题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,属于简单的综合题目,难度不大。

解题思路

利用指数函数的单调性转化为x2﹣x<2,求解即可。

易错点

本题考查了指数函数的性质,二次不等式的求解,在用函数单调性解不等式时易错.

知识点

不等式的性质不等式的应用
1
题型:填空题
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分值: 5分

8.已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为  

正确答案

3

解析

:tanα=﹣2,tan(α+β)=,可知tan(α+β)==

=,解得tanβ=3.

故答案为:3.

考查方向

本题考查两角和的正切函数,基本知识的考查.

解题思路

直接利用两角和的正切函数,求解即可.

易错点

本题考查两角和的正切函数,用公式计算时易错.

知识点

三角函数的化简求值三角函数中的恒等变换应用
1
题型:填空题
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分值: 5分

11.设数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为  

正确答案

解析

∵数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),

∴当n≥2时,an=(an﹣an﹣1)+…+(a2﹣a1)+a1=+n+…+2+1=

当n=1时,上式也成立,

∴an=

=2

∴数列{}的前n项的和Sn=

=

=

∴数列{}的前10项的和为

故答案为:

考查方向

本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

解题思路

数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),利用“累加求和”可得an=.再利用“裂项求和”即可得出.

易错点

题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、尤其在用“裂项求和”的过程中易错.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型:填空题
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分值: 5分

14.设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(ak•ak+1)的值为  

正确答案

解析

=+

=++++

=++

=++

(ak•ak+1)=+++++++…+++++++…+

=+0+0

=

故答案为:9

考查方向

本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.

解题思路

利用向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性即可得出.

易错点

本题考查了向量数量积运算性质、两角和差的正弦公式、积化和差公式、三角函数的周期性,在应用公式解题过程中易错.

知识点

数列与三角函数的综合
简答题(综合题) 本大题共100分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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急性心肌梗死最常见的心律失常是

A.房性早搏或心房纤颤
B.室性早搏或室性心动过速
C.房室传导阻滞
D.预激综合征
E.右束支传导阻滞

正确答案

B

解析

暂无解析

1
题型:简答题
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公安机关服从中国共产党的领导,必须是( )。

A.相对的
B.无条件的
C.全面的
D.间接的

正确答案

B,C

解析

[解析] 公安机关服从中国共产党的领导,必须是绝对的、无条件的、全面的和直接的。故选BC。

1
题型:简答题
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党的领导与政府的领导( )。

A.在性质、职能方面没有区别,在加强公安工作的目标上是一致的,大政方针是统一的
B.在各自对公安机关的领导中,要互相保证,而不能互相冲击
C.党委对公安机关的领导是从政治方向、思想路线和重大决策上保证各级政府对公安机关领导的正确性
D.各级政府对同级公安机关的领导,是通过行政管理工作保证党的路线、方针、政策、重大决策的切实贯彻实施

正确答案

B,C,D

解析

[解析] 党的领导与政府领导虽然在性质、职能等方面有区别,但加强公安工作的目标是一致的,大政方针是统一的。因此,在各自对公安机关的领导中,要互相保证,而不能互相冲击。党委对公安机关的领导是从政治方向、思想路线和重大决策上保证各级政府对公安机关领导的正确性;各级政府对同级公安机关的领导,是通过行政管理工作保证党的路线、方针、政策、重大决策的切实贯彻实施。故选BCD。

1
题型:简答题
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关于打击与保护,下列哪些说法正确( )

A.打击与保护是对立的
B.公安工作具有打击与保护的双重特点
C.打击中包含着警戒预防,使人不敢以身试法
D.保护中包含着消除造成违法犯罪的消极因素

正确答案

B,C,D

解析

[解析] 公安工作具有打击与保护的双重特点,这是由公安工作的对象所决定的。打击与保护,两者是紧密联系、相互依存、相互渗透、互为前提的。打击中包含着警戒预防,使人不敢以身试法;保护中包含着消除造成违法犯罪的消极因素。故选BCD。

1
题型:简答题
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人民警察有下列情形之一,经批评教育、纪律处分仍不改正的,或者经培训试用后仍不合格的,应当予以辞退:( )。

A.耍特权,态度恶劣,刁难辱骂群众,侵犯公民合法权益的
B.经常喝酒的
C.文化、业务素质低,不适应公安工作的
D.对遇有危难情形的群众拒绝提供救助的

正确答案

A,C,D

解析

[解析] 《公安机关人民警察辞退办法》第四条规定:人民警察有下列情形之一,经批评教育、纪律处分仍不改正的,或者经培训试用后仍不合格的,应当予以辞退:①作风散漫,纪律松弛,经常迟到、早退或者上班时间经常办私事的;②遇事推诿,消极怠工,工作不负责任的;③耍特权,态度恶劣,刁难辱骂群众,侵犯公民合法权益的;④酗酒滋事或者经常酗酒的;⑤私自将警械、警服、警衔标志转借、赠送非人民警察的;⑥不按规定着装,警容不严整,举止不端庄的;⑦对遇有危难情形的群众拒绝提供救助的;⑧文化、业务素质低,不适应公安工作的。故选ACD。

1
题型:简答题
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心绞痛发作时,首选的速效药物是

A.普萘洛尔(心得安)
B.硝苯地平(心痛定)
C.硝酸异山梨醇酯(消心痛)
D.硝酸甘油
E.阿司匹林

正确答案

D

解析

暂无解析

1
题型:简答题
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在教育宗旨问题上,梁启超主张通过教育培养

A.政治家
B.学术人才
C.新国民
D.实业人才

正确答案

C

解析

[分析] 本题旨在考查考生对中国近代维新派教育家及其代表人物教育思想贡献及其历史意义的掌握程度。维新派教育家的思想贡献在于首先明确提出普及教育的主张和培养具有时代人格精神的国民,这是他们区别于洋务派教育思想之处。尽管他们不排斥培养政治家、学术人才和实业人才,但其着眼点显然不在于此。故本题正确答案为C。

1
题型:简答题
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分值: 14分

某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.

21.求a,b的值;

22.设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;

②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(1)由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),

将其分别代入y=,得

解得

考查方向

本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.

解题思路

由题意知,点M,N的坐标分别为(5,40),(20,2.5),将其分别代入y=,建立方程组,即可求a,b的值;

易错点

本题考查利用数学知识解决实际问题,在实际应用问题时易错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米

解析

)①由(1)y=(5≤x≤20),P(t,),

∴y′=﹣

∴切线l的方程为y﹣=﹣(x﹣t)

设在点P处的切线l交x,y轴分别于A,B点,则A(,0),B(0,),

∴f(t)==,t∈[5,20];

②设g(t)=,则g′(t)=2t﹣=0,解得t=10

t∈(5,10)时,g′(t)<0,g(t)是减函数;t∈(10,20)时,g′(t)>0,g(t)是增函数,

从而t=10时,函数g(t)有极小值也是最小值,

∴g(t)min=300,

∴f(t)min=15

答:t=10时,公路l的长度最短,最短长度为15千米

考查方向

本题考查利用数学知识解决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,正确求导是关键.

解题思路

①求出切线l的方程,可得A,B的坐标,即可写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;

②设g(t)=,利用导数,确定单调性,即可求出当t为何值时,公路l的长度最短,并求出最短长度.

易错点

本题考查利用数学知识解键决实际问题,考查导数知识的综合运用,确定函数关系,在应用导数解题过程中易错.

1
题型:简答题
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长期中,通货膨胀对失业( )。

A.(A) 有影响
B.(B) 基本没有影响
C.(C) 有很大影响
D.(D) 一点没有影响

正确答案

B

解析

暂无解析

1
题型:简答题
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前间壁心肌梗死特征性心电图改变,见于

A.V3、V4、V5
B.V1、V2、V3、V4、V5
C.V1、V2、V3
D.V5、I、aVL
E.Ⅱ、Ⅲ、aVF

正确答案

C

解析

暂无解析

1
题型:简答题
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分值: 14分

如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.

求证:

19.DE∥平面AA1C1C;

20.BC1⊥AB1

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C; 

解析

(1)根据题意,得;E为B1C的中点,D为AB1的中点,所以DE∥AC;又因为DE⊄平面AA1C1C,AC⊂平面AA1C1C,所以DE∥平面AA1C1C;

考查方向

本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,是基础题目.

解题思路

根据中位线定理得DE∥AC,即证DE∥平面AA1C1C;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)因为棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱,所以CC1⊥平面ABC,

因为AC⊂平面ABC,所以AC⊥CC1

又因为AC⊥BC,CC1⊂平面BCC1B1,BC⊂平面BCC1B1

BC∩CC1=C,所以AC⊥平面BCC1B1;又因为BC1⊂平面平面BCC1B1

所以BC1⊥AC因为BC=CC1,所以矩形BCC1B1是正方形,

所以BC1⊥平面B1AC;又因为AB1⊂平面B1AC,

所以BC1⊥AB1

解析

间答案

考查方向

本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,是基础题目.

解题思路

先由直三棱柱得出CC1⊥平面ABC,即证AC⊥CC1;再证明AC⊥平面BCC1B1,即证BC1⊥AC;最后证明BC1⊥平面B1AC,即可证出BC1⊥AB1

易错点

本题考查了直线与直线,直线与平面以及平面与平面的位置关系,也考查了空间想象能力和推理论证能力的应用问题,在严格应用定理过程中易错.

1
题型:简答题
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分值: 16分

如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.

23.求椭圆的标准方程;

24.过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

+y2=1;

解析

(1)由题意可得,e==

且c+=3,解得c=1,a=

则b=1,即有椭圆方程为+y2=1;

考查方向

本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.

解题思路

(1)运用离心率公式和准线方程,可得a,c的方程,解得a,c,再由a,b,c的关系,可得b,进而得到椭圆方程;

易错点

本题考查椭圆的方程和性质,在应用几何意义时易错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

y=x﹣1或y=﹣x+1.

解析

(2)当AB⊥x轴,AB=,CP=3,不合题意;

当AB与x轴不垂直,设直线AB:y=k(x﹣1),A(x1,y1),B(x2,y2),

将AB方程代入椭圆方程可得(1+2k2)x2﹣4k2x+2(k2﹣1)=0,

则x1+x2=,x1x2=

则C(),且|AB|==

若k=0,则AB的垂直平分线为y轴,与左准线平行,不合题意;

则k≠0,故PC:y+=﹣(x﹣),P(﹣2,),

从而|PC|=

由|PC|=2|AB|,可得=,解得k=±1,

此时AB的方程为y=x﹣1或y=﹣x+1.

考查方向

本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,同时考查两直线垂直和中点坐标公式的运用,属于中档题.

解题思路

(2)讨论直线AB的斜率不存在和存在,设出直线方程,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,以及两直线垂直的条件和中点坐标公式,即可得到所求直线的方程.

易错点

本题考查椭圆的方程和性质,主要考查椭圆的离心率和方程的运用,联立直线方程,运用韦达定理和弦长公式,计算易错.

1
题型:简答题
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分值: 16分

已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

25.试讨论f(x)的单调性;

26.若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

函数f(x)在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递减;

解析

(1)∵f(x)=x3+ax2+b,

∴f′(x)=3x2+2ax,

令f′(x)=0,可得x=0或﹣

a=0时,f′(x)>0,∴f(x)在(﹣∞,+∞)上单调递增;

a>0时,x∈(﹣∞,﹣)∪(0,+∞)时,f′(x)>0,x∈(﹣,0)时,f′(x)<0,

∴函数f(x)在(﹣∞,﹣),(0,+∞)上单调递增,在(﹣,0)上单调递减;

a<0时,x∈(﹣∞,0)∪(﹣,+∞)时,f′(x)>0,x∈(0,﹣)时,f′(x)<0,

∴函数f(x)在(﹣∞,0),(﹣,+∞)上单调递增,在(0,﹣)上单调递减;

考查方向

本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.

解题思路

(1)求导数,分类讨论,利用导数的正负,即可得出f(x)的单调性;

易错点

本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,分类讨论中易错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

c=1

解析

(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,

∵b=c﹣a,

∴a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.

设g(a)=﹣a+c,

∵函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),

∴在(﹣∞,﹣3)上,g(a)<0且在(1,)∪(,+∞)上g(a)>0均恒成立,

∴g(﹣3)=c﹣1≤0,且g()=c﹣1≥0,

∴c=1,

此时f(x)=x3+ax2+1﹣a=(x+1)[x2+(a﹣1)x+1﹣a],

∵函数有三个零点,

∴x2+(a﹣1)x+1﹣a=0有两个异于﹣1的不等实根,

∴△=(a﹣1)2﹣4(1﹣a)>0,且(﹣1)2﹣(a﹣1)+1﹣a≠0,

解得a∈(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),

综上c=1.

考查方向

本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数学思想,难度大.

解题思路

(2)由(1)知,函数f(x)的两个极值为f(0)=b,f(﹣)=+b,则函数f(x)有三个不同的零点等价于f(0)f(﹣)=b(+b)<0,进一步转化为a>0时,﹣a+c>0或a<0时,﹣a+c<0.设g(a)=﹣a+c,利用条件即可求c的值.

易错点

本题考查导数知识的综合运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,在用范围的过程中易错.

1
题型:简答题
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分值: 10分

如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.

34.求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;

35.点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

以A为坐标原点,以AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建系A﹣xyz如图,

由题可知B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

(1)∵AD⊥平面PAB,∴=(0,2,0),是平面PAB的一个法向量,

=(1,1,﹣2),=(0,2,﹣2),

设平面PCD的法向量为=(x,y,z),

,得

取y=1,得=(1,1,1),

∴cos<>==

∴平面PAB与平面PCD所成两面角的余弦值为

考查方向

本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

解题思路

(1)所求值即为平面PAB的一个法向量与平面PCD的法向量的夹角的余弦值的绝对值,计算即可;

易错点

本题考查求二面角的三角函数值,在计算过程中易错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

(2)∵=(﹣1,0,2),设=(﹣λ,0,2λ)(0≤λ≤1),

=(0,﹣1,0),则=+=(﹣λ,﹣1,2λ),

=(0,﹣2,2),从而cos<>==

设1+2λ=t,t∈[1,3],

则cos2>==

当且仅当t=,即λ=时,|cos<>|的最大值为

因为y=cosx在(0,)上是减函数,此时直线CQ与DP所成角取得最小值.

又∵BP==,∴BQ=BP=

考查方向

本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,注意解题方法的积累,属于中档题.

解题思路

(2)利用换元法可得cos2>≤,结合函数y=cosx在(0,)上的单调性,计算即得结论

易错点

本题考查求二面角的三角函数值,考查用空间向量解决问题的能力,在求最值时易错.

1
题型:简答题
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分值: 10分

已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n)(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或整除a,a∈X,B∈Yn},令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.

36.写出f(6)的值;

37.当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

13

解析

(1)f(6)=6+2++=13;

考查方向

本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.

解题思路

(1)f(6)=6+2++=13;

易错点

本题在计算时易错.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(2)当n≥6时,f(n)=

下面用数学归纳法证明:

①n=6时,f(6)=6+2++=13,结论成立;

②假设n=k(k≥6)时,结论成立,那么n=k+1时,Sk+1在Sk的基础上新增加的元素在(1,k+1),(2,k+1),(3,k+1)中产生,分以下情形讨论:

1)若k+1=6t,则k=6(t﹣1)+5,此时有f(k+1)=f(k)+3=(k+1)+2++,结论成立;

2)若k+1=6t+1,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+1=k+2+++1=(k+1)+2++,结论成立;

3)若k+1=6t+2,则k=6t+1,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;

4)若k+1=6t+3,则k=6t+2,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;

5)若k+1=6t+4,则k=6t+3,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立;

6)若k+1=6t+5,则k=6t+4,此时有f(k+1)=f(k)+2=k+2+++2=(k+1)+2++,结论成立.

综上所述,结论对满足n≥6的自然数n均成立.

解析

见答案

考查方向

本题考查数学归纳法,考查学生分析解决问题的能力,正确归纳是关键.

解题思路

(2)根据数学归纳法的证明步骤,分类讨论,即可证明结论.

易错点

本题考查数学归纳法,在归纳的过程中易错.

1
题型:简答题
|
分值: 20分

选做题 。本题包括四题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,

【选修4-1:几何证明选讲】(请回答30题)

如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.

【选修4-2:矩阵与变换】(请回答31题)

已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量

【选修4-4:坐标系与参数方程】(请回答32题)

已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,

[选修4-5:不等式选讲】(请回答33题)

解不等式x+|2x+3|≥2.

30.求证:△ABD∽△AEB.

31.求矩阵A以及它的另一个特征值.

32.求圆C的半径.

33.解不等式x+|2x+3|≥2.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,可知:△ABD∽△AEB.

解析

证明:∵AB=AC,∴∠ABD=∠C,又∵∠C=∠E,∴∠ABD=∠E,又∠BAE是公共角,可知:△ABD∽△AEB.

考查方向

本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,考查逻辑推理能力.

解题思路

直接利用已知条件,推出两个三角形的三个角对应相等,即可证明三角形相似

易错点

本题考查圆的基本性质与相似三角形等基础知识,证明过程中条件可能不严格.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

1

解析

由已知,可得A=﹣2,即==

,即

∴矩阵A=

从而矩阵A的特征多项式f(λ)=(λ+2)(λ﹣1),

∴矩阵A的另一个特征值为1.

考查方向

本题考查求矩阵及其特征值,注意解题方法的积累,属于中档题.

解题思路

利用A=﹣2,可得A=,通过令矩阵A的特征多项式为0即得结论.

易错点

本题考查求矩阵及其特征值,计算过程中易错.

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

r=

解析

圆的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,可得ρ2﹣2ρcosθ+2ρsinθ﹣4=0,

化为直角坐标方程为x2+y2﹣2x+2y﹣4=0,

化为标准方程为(x﹣1)2+(y+1)2=6,

圆的半径r=

考查方向

本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,以及求点的极坐标的方法,关键是利用公式x=ρcosθ,y=ρsinθ,比较基础.

解题思路

先根据x=ρcosθ,y=ρsinθ,求出圆的直角坐标方程,求出半径.

易错点

本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,在转化过程中易错.

第(4)小题正确答案及相关解析

正确答案

{x|x≥,或x≤﹣5}.

解析

x+|2x+3|≥2变形为|2x+3|≥2﹣x,

得2x+3≥2﹣x,或2x+3≥﹣(2﹣x),

即x≥,或x≤﹣5,

即原不等式的解集为{x|x≥,或x≤﹣5}.

考查方向

本题考查了含绝对值不等式的解法.本解答给出的两种方法是常见的方法,不管用哪种方法,其目的是去绝对值符号.

解题思路

若含有一个绝对值符号,利用公式法要快捷一些,其套路为:|f(x)|≥g(x)⇔f(x)≥g(x),或f(x)≤﹣g(x);|f(x)|≤g(x)⇔﹣g(x)≤f(x)≤g(x).可简记为:大于号取两边,小于号取中间.使用零点分段法时,应注意:同一类中取交集,类与类之间取并集.

易错点

本题在去绝对值符号,分类讨论中易错.

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