• 2015年高考真题 理科数学 (江苏卷)
填空题 本大题共13小题,每小题5分,共65分。把答案填写在题中横线上。
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1.已知集合A={1,2,3},B={2,4,5},则集合A∪B中元素的个数为   

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2.已知一组数据4,6,5,8,7,6,那么这组数据的平均数为  

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3.设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为  

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4.根据如图所示的伪代码,可知输出的结果S为   

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5.袋中有形状、大小都相同的4只球,其中1只白球、1只红球、2只黄球,从中一次随机摸出2只球,则这2只球颜色不同的概率为  

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8.已知tanα=﹣2,tan(α+β)=,则tanβ的值为  

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7.不等式2<4的解集为     

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6.已知向量=(2,1),=(1,﹣2),若m+n=(9,﹣8)(m,n∈R),则m﹣n的值为    

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9.现有橡皮泥制作的底面半径为5,高为4的圆锥和底面半径为2,高为8的圆柱各一个,若将它们重新制作成总体积与高均保持不变,但底面半径相同的新的圆锥和圆柱各一个,则新的底面半径为  

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10.在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx﹣y﹣2m﹣1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为  

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11.设数列{an}满足a1=1,且an+1﹣an=n+1(n∈N*),则数列{}的前10项的和为  

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13.已知函数f(x)=|lnx|,g(x)=,则方程|f(x)+g(x)|=1实根的个数为  

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14.设向量=(cos,sin+cos)(k=0,1,2,…,12),则(ak•ak+1)的值为  

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简答题(综合题) 本大题共135分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
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12.在平面直角坐标系xOy中,P为双曲线x2﹣y2=1右支上的一个动点,若点P到直线x﹣y+1=0的距离大于c恒成立,则实数c的最大值为  

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在△ABC中,已知AB=2,AC=3,A=60°.

17.求BC的长;

18.求sin2C的值.

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如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,已知AC⊥BC,BC=CC1,设AB1的中点为D,B1C∩BC1=E.

求证:

19.DE∥平面AA1C1C;

20.BC1⊥AB1

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已知函数f(x)=x3+ax2+b(a,b∈R).

25.试讨论f(x)的单调性;

26.若b=c﹣a(实数c是与a无关的常数),当函数f(x)有三个不同的零点时,a的取值范围恰好是(﹣∞,﹣3)∪(1,)∪(,+∞),求c的值.

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如图,在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆+=1(a>b>0)的离心率为,且右焦点F到左准线l的距离为3.

23.求椭圆的标准方程;

24.过F的直线与椭圆交于A,B两点,线段AB的垂直平分线分别交直线l和AB于点P,C,若PC=2AB,求直线AB的方程.

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某山区外围有两条相互垂直的直线型公路,为进一步改善山区的交通现状,计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路,记两条相互垂直的公路为l1,l2,山区边界曲线为C,计划修建的公路为l,如图所示,M,N为C的两个端点,测得点M到l1,l2的距离分别为5千米和40千米,点N到l1,l2的距离分别为20千米和2.5千米,以l2,l1在的直线分别为x,y轴,建立平面直角坐标系xOy,假设曲线C符合函数y=(其中a,b为常数)模型.

21.求a,b的值;

22.设公路l与曲线C相切于P点,P的横坐标为t.

①请写出公路l长度的函数解析式f(t),并写出其定义域;

②当t为何值时,公路l的长度最短?求出最短长度.

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设a1,a2,a3.a4是各项为正数且公差为d(d≠0)的等差数列.

27.证明:2,2,2,2依次构成等比数列;

28.是否存在a1,d,使得a1,a22,a33,a44依次构成等比数列?并说明理由;

29.是否存在a1,d及正整数n,k,使得a1n,a2n+k,a3n+2k,a4n+3k依次构成等比数列?并说明理由.

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选做题 。本题包括四题,请选定其中两小题作答,若多做,则按作答的前两小题评分,

【选修4-1:几何证明选讲】(请回答30题)

如图,在△ABC中,AB=AC,△ABC的外接圆⊙O的弦AE交BC于点D.

【选修4-2:矩阵与变换】(请回答31题)

已知x,y∈R,向量=是矩阵的属于特征值﹣2的一个特征向量

【选修4-4:坐标系与参数方程】(请回答32题)

已知圆C的极坐标方程为ρ2+2ρsin(θ﹣)﹣4=0,

[选修4-5:不等式选讲】(请回答33题)

解不等式x+|2x+3|≥2.

30.求证:△ABD∽△AEB.

31.求矩阵A以及它的另一个特征值.

32.求圆C的半径.

33.解不等式x+|2x+3|≥2.

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如图,在四棱锥P﹣ABCD中,已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为直角梯形,∠ABC=∠BAD=,PA=AD=2,AB=BC=1.

34.求平面PAB与平面PCD所成二面角的余弦值;

35.点Q是线段BP上的动点,当直线CQ与DP所成的角最小时,求线段BQ的长.

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已知集合X={1,2,3},Yn={1,2,3,…,n)(n∈N*),设Sn={(a,b)|a整除b或整除a,a∈X,B∈Yn},令f(n)表示集合Sn所含元素的个数.

36.写出f(6)的值;

37.当n≥6时,写出f(n)的表达式,并用数学归纳法证明.

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