数学 2017年高三第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.设全集U={﹣2,﹣1,0,1,2},A={x|x≤1},B={﹣2,0,2},则∁U(A∩B)=(  )

A{﹣2,0}

B{﹣2,0,2}

C{﹣1,1,2}

D{﹣1,0,2}

正确答案

C

解析

全集U={﹣2,﹣1,0,1,2},

A={x|x≤1},B={﹣2,0,2},

则A∩B={﹣2,0},

∴∁U(A∩B)={﹣1,1,2}.

故选:C.

考查方向

交、并、补集的混合运算.

解题思路

根据交集和补集的定义写出运算结果即可.

易错点

解题时要认真审题,注意交集,并集与补集的合理运用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.将函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,所得图象对应的函数(  )

A在区间[]上单调递减

B在区间[]上单调递增

C在区间[﹣]上单调递减     

D在区间[﹣]上单调递增

正确答案

B

解析

把函数y=3sin(2x+)的图象向右平移个单位长度,

得到的图象所对应的函数解析式为:y=3sin[2(x﹣)+].

即y=3sin(2x﹣).

当函数递增时,由,得

取k=0,得

∴所得图象对应的函数在区间[]上单调递增.

故选:B.

考查方向

函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.

解题思路

直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式,然后利用复合函数的单调性的求法求出函数的增区间,取k=0即可得到函数在区间[]上单调递增,则答案可求.

易错点

正弦型函数的性质

1
题型: 单选题
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分值: 5分

9.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由三视图可知:该几何体由上下两部分组成,上面是一个球的四分之一,下面是一个半圆柱.

∴该几何体的体积

故选:B.

考查方向

由三视图求面积、体积.

解题思路

由三视图可知:该几何体由上下两部分组成,上面是一个球的四分之一,下面是一个半圆柱.

易错点

三视图还原几何体

1
题型: 单选题
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分值: 5分

10.执行如图所示的程序框图后,输出的值为4,则p的取值范围是(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

模拟执行程序框图,可得

n=1,S=0

满足条件S<P,S=,n=2

满足条件S<P,S=,n=3

满足条件S<P,S=,n=4,

不满足条件,退出循环,输出n的值为4,

∴p的取值范围是

故选A.

考查方向

程序框图.

解题思路

模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的S,n的值,当直到退出循环,输出n的值为4,从而可解得p的取值范围.

易错点

程序框图中的循环结构

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.复数对应的点位于(  )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

C

解析

∴此复数对应的点是(﹣1,﹣1),即在第三象限,

故选C.

考查方向

复数的代数表示法及其几何意义.

解题思路

根据所给的复数,需要分子分母同乘以1﹣i,再利用虚数单位i的性质进行化简.

易错点

复数的运算法则

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.从数字1,2,3,4中任取两个不同的数字构成一个两位数,这个两位数大于20的概率是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意知本题是一个等可能事件的概率,

试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列,共有A42=12种结果,

两位数大于20的为:21,23,24,31,32,34,41,42,43共9种结果,

因此概率为=.故选B.

考查方向

列举法计算基本事件数及事件发生的概率.

解题思路

本题是一个等可能事件的概率,试验发生所包含的事件是从4个数字中选两个数字进行排列,共有A42种结果,两位数大于20的为:21,23,24,31,32,34,41,42,43共9种结果.得到概率.

易错点

仔细审题,用列举法表示基本事件

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.在正数数列中,a1=2,且点在直线x﹣9y=0上,则的前n项和Sn等于(  )

A3n﹣1

B

C

D

正确答案

A

解析

在正数数列{an}中,a1=2,且点在直线x﹣9y=0上,

可得an2=9an﹣12,即为an=3an﹣1

可得数列{an}为首项为2,公比为3的等比数列,

则{an}的前n项和Sn等于==3n﹣1.

故选:A.

考查方向

数列的求和.

解题思路

代入点,化简可得数列{an}为首项为2,公比为3的等比数列,由等比数列的求和公式,化简计算即可得到所求和.

易错点

等比数列的前n项和

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.函数f(x)=(3﹣x2)•ln|x|的大致图象为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

函数f(x)=(3﹣x2)•ln|x|是偶函数,排除A,D选项,

(3﹣x2)•ln|x|=0,当x>0时,解得x=1,或x=,是函数f(x)=(3﹣x2)•ln|x|在x>0时的两个零点,

当x=时,f()=(3﹣(2)•ln||=<0,

可得选项B不正确,

故选:C.

考查方向

函数的图象.

解题思路

判断函数的奇偶性,排除选项,利用特殊值,判断即可.

易错点

认真分析,识别函数的图象

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.已知在四面体ABCD中,E,F分别是AC,BD的中点,若AB=2,CD=4,EF⊥AB,则EF与CD所成的角的度数为(  )

A90°

B45°

C60°

D30°

正确答案

D

解析

设G为AD的中点,连接GF,GE,

则GF,GE分别为△ABD,△ACD的中线.

由此可得,GF∥AB且GF=AB=1,

GE∥CD,且GE=CD=2,

∴∠FEG或其补角即为EF与CD所成角.

又∵EF⊥AB,GF∥AB,∴EF⊥GF

因此,Rt△EFG中,GF=1,GE=2,

由正弦的定义,得sin∠GEF==,可得∠GEF=30°.

∴EF与CD所成的角的度数为30°

故选:D

考查方向

异面直线及其所成的角.

解题思路

设G为AD的中点,连接GF,GE,利用三角形中位线定理,可证出EF⊥GF且∠FEG或其补角即为EF与CD所成角.最后在Rt△EFG中,利用正弦的定义算出∠GEF=30°,即得EF与CD所成的角的度数.

易错点

平移异面直线到一个平面内解三角形

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.设a,b,c均为正数,且2a=,则(  )

Aa<b<c

Bc<b<a

Cc<a<b

Db<a<c

正确答案

A

解析

分别作出四个函数y=

y=2x,y=log2x的图象,观察它们的交点情况.

由图象知:

∴a<b<c.

故选A.

考查方向

对数值大小的比较.

解题思路

比较大小 可以借助图象进行比较,观察题设中的三个数a,b,c,可以借助函数图象的交点的位置进行比较.

易错点

认真画图利用图象的交点比较

1
题型: 单选题
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分值: 5分

11.双曲线=1(a>0,b>0)的左右焦点分别为F1,F2,直线l经过点F1及虚轴的一个端点,且点F2到直线l的距离等于实半轴的长,则双曲线的离心率为(  )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意,直线l的方程为y=x+b,即bx﹣cy+bc=0,

∵点F2到直线l的距离等于实半轴的长,

∴4(c2﹣a2)c2=a2(2c2﹣a2),

∴4e4﹣6e2+1=0,

∵e>1,∴e=

故选D.

考查方向

双曲线的简单性质.

解题思路

利用点F2到直线l的距离等于实半轴的长,可得,得出a与c之间的等量关系,进而求出离心率.

易错点

转化成齐次式求离心率

1
题型: 单选题
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分值: 5分

12.数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),且,记Sn为数列{bn}的前n项和,则S24=(  )

A294

B174

C470

D304

正确答案

D

解析

∵nan+1=(n+1)an+n(n+1),

=1,

∴数列是等差数列,公差与首项都为1.

=1+(n﹣1),可得an=n2

∴bn=n2

∴b3k﹣2=(3k﹣2)2=﹣(3k﹣2)2

同理可得b3k﹣1=﹣(3k﹣1)2

b3k=(3k)2,k∈N*

∴b3k﹣2+b3k﹣1+b3k═﹣(3k﹣2)2(3k﹣1)2+(3k)2=9k﹣

则S24=9×(1+2+…+8)﹣=304.

故选:D.

考查方向

数列的求和.

解题思路

nan+1=(n+1)an+n(n+1),可得=1,利用等差数列的定义通项公式可得an=n2,bn=n2,可得b3k﹣2=(3k﹣2)2=﹣(3k﹣2)2,同理可得b3k﹣1=﹣(3k﹣1)2

b3k=(3k)2,k∈N*.即可得出.

易错点

仔细认真转化构造为等差数列

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

13.设向量=(1,2m),=(m+1,1),=(2,m),若()⊥,则=  

正确答案

解析

=(1,2m),=(m+1,1),=(2,m),

=(3,3m),

∵()⊥

∴(=3(m+1)+3m=0,

∴m=﹣,即

=

故答案为:.

考查方向

数量积判断两个平面向量的垂直关系;平面向量的坐标运算.

解题思路

=(1,2m),=(m+1,1),=(2,m),知=(3,3m),由()⊥,知(=3(m+1)+3m=0,由此能求出

易错点

平面向量的坐标运算

1
题型:填空题
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分值: 5分

15.某公司租赁甲、乙两种设备生产A,B两类产品,甲种设备每天能生产A类产品5件和B类产品10件,乙种设备每天能生产A类产品6件和B类产品20件.已知设备甲每天的租赁费为2000元,设备乙每天的租赁费为3000元,现该公司至少要生产A类产品50件,B类产品140件,所需租赁费最少为  元.

正确答案

23000

解析

设需租赁甲种设备x天,乙种设备y天,

目标函数为z=2000x+3000y.

作出其可行域,易知当x=4,y=5时,

z=2000x+3000y有最小值23000元.

故答案为:23000.

考查方向

函数模型的选择与应用.

解题思路

设需租赁甲种设备x天,乙种设备y天,可得,画出可行域,作出目标函数为z=2000x+3000y.

易错点

仔细审题,列出约束条件

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.过点的直线l将圆(x﹣2)2+y2=8分成两段弧,当劣弧所对的圆心角最小时,直线l的斜率k=  

正确答案

解析

由题意,点P(1,)在圆(x﹣2)2+y2=8的内部,

圆心为C(2,0),要使得劣弧所对的圆心角最小,只能是直线l⊥CP,

所以k=﹣=

故答案为

考查方向

直线与圆的位置关系.

解题思路

由劣弧所对的圆心角最小弦长最短,及过圆内一点最短的弦与过该点的直径垂直,易得到解题思路.

易错点

几何法解直线与圆的位置关系,数形结合

1
题型:填空题
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分值: 5分

16.若函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心为M(x0,f(x0)),记函数f(x)的导函数为g(x),则有g'(x0)=0.若函数f(x)=x3﹣3x2,则=    

正确答案

﹣8066

解析

∵f(x)=x3﹣3x2,∴g(x)=3x2﹣6x,∴g′(x)=6x﹣6,

∵g′(x0)=6x0﹣6=0,∴x0=1,∴f(x0)=f(1)=f(1)=1﹣3=﹣2,

∴函数f(x)=x3﹣3x2的对称中心为(1,﹣2),

∴f(x)+f(2﹣x)=﹣4,

=﹣4×2016+f(1)=﹣8064+1﹣3=﹣8066.

故答案为:﹣8066.

考查方向

求函数的值.

解题思路

推导出函数f(x)=x3﹣3x2的对称中心为(1,﹣2),由此能求出的值.

易错点

找三次函数的对称中心

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

某手机厂商推出一款6吋大屏手机,现对500名该手机使用者进行调查,对手机进行打分,打分的频数分布表如下:

19.完成下列频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小(不要求计算具体值,给出结论即可);

20.分别求女性用户评分的众数,男性用户评分的中位数;

21.如果评分不低于70分,就表示该用户对手机“认可”,否则就表示“不认可”,完成下列2×2列联表,并回答是否有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关;

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

女性用户和男性用户的频率分布表分别如下左、右图:

由图可得女性用户的波动小,男性用户的波动大.

考查方向

频率分布直方图.

解题思路

利用所给数据,可得频率分布直方图,并比较女性用户和男性用户评分的波动大小;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

由女性用户频率分布直方图知,女性用户评分的众数为75;

在男性用户频率分布直方图中,中位数两边的面积相等.设中位数为x,则70<x<80

于是10×0.015+10×0.025+(x﹣70)×0.03=0.5,解得

考查方向

频率分布直方图求中位数.

解题思路

由女性用户频率分布直方图知,女性用户评分的众数;在男性用户频率分布直方图中,中位数两边的面积相等,求出男性用户评分的中位数;

易错点

仔细中位数两边的面积相等

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

2×2列联表如下图:

,所以有95%的把握认为性别和对手机的“认可”有关.

考查方向

独立性检验的应用;

解题思路

求出K2,与临界值比较,即可得出结论.

易错点

K2的计算进行独立性检验

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,在四棱锥S﹣ABCD中,底面ABCD是正方形,SA⊥底面ABCD,SA=AB=2,点M是SD的中点,AN⊥SC,且交SC于点N.

22. 求证:SB∥平面ACM;

23. 求点C到平面AMN的距离.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

连结BD交AC于E,连结ME.

∵ABCD是正方形,∴E是BD的中点.

∵M是SD的中点,∴ME是△DSB的中位线.

∴ME∥SB.  …

又∵ME⊂平面ACM,SB⊄平面ACM,

∴SB∥平面ACM.

考查方向

直线与平面平行的判定

解题思路

连结BD交AC于E,连结ME,推导出ME∥SB,由此能证明SB∥平面ACM.

易错点

仔细审题线面平行的判定定理

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由条件有DC⊥SA,DC⊥DA,

∴DC⊥平面SAD,∴AM⊥DC.

又∵SA=AD,M是SD的中点,∴AM⊥SD.

∴AM⊥平面SDC.∴SC⊥AM.

由已知SC⊥AN,∴SC⊥平面AMN.

于是CN⊥面AMN,则CN为点C到平面AMN的距离

在Rt△SAC中,

于是

∴点C到平面AMN的距离为

考查方向

点、线、面间的距离计算

解题思路

推导出CN为点C到平面AMN的距离,由此能求出点C到平面AMN的距离.

易错点

找到线面的距离,解三角形

1
题型:简答题
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分值: 12分

平面上动点P到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=﹣2的距离小1.

24. 求动点P的轨迹C的方程;

25.过点F作直线与曲线C交于两点A,B,与直线l交于点M,求|MA|•|MB|的最小值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

x2=4y

解析

设动点P的坐标为(x,y),由题意知:,且y≥0,

,化简得:x2=4y,

即为动点P轨迹C的方程

考查方向

求轨迹方程.

解题思路

利用平面上动点P到点F(0,1)的距离比它到直线l:y=﹣2的距离小1,建立方程,即可求动点P的轨迹C的方程

易错点

运用抛物线的定义求的轨迹方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

设点A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,﹣2),

由题意直线AB的斜率k

存在且k≠0,设其方程为y=kx+1,则,得

,消去y得x2﹣4kx﹣4=0,

于是△=16(k2+1)>0恒成立,且x1+x2=4k,x1x2=﹣4,

方向相同,故

=

当且仅当时取等号,

故|MA|•|MB|的最小值为

考查方向

直线与抛物线的位置关系

解题思路

方向相同,故,直线与抛物线方程联立,利用韦达定理及基本不等式,即可求|MA|•|MB|的最小值.

易错点

直线与圆锥曲线的最值问题.

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,在平面四边形ABCD中,AB⊥AD,AB=1,AC=,△ABC的面积S△ABC=,DC=

17.求BC的长;

18.求∠ACD的大小.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

2

解析

设∠BAC=α,∠CAD=β,因AB⊥AD,则

在△ABC中,S△ABC=

所以,解得

由余弦定理得BC2=AB2+AC2﹣2AB×AC×cosα=4,

即BC=2

考查方向

三角形的面积公式,余弦定理

解题思路

由题意和三角形的面积公式求出sinα,由条件和平方关系求出cosα,由余弦定理求出BC的值;

易错点

解三角形中的量的关系

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

,…

在△ACD中,由正弦定理得得:

,则

∴sin∠ACD=sin[π﹣(β+D)]=sin(β+D)

=sinβcosD+sinDcosβ==

因为,所以

考查方向

正弦定理,和角公式

解题思路

由条件和诱导公式求出sinβ,由条件和平方关系求出cosβ,由条件和正弦定理求出sinD,由平方关系求出cosD,由两角和的正弦公式求出sin∠ACD,由内角的范围和特殊角的三角函数值求出∠ACD.

易错点

三角形中的诱导公式

1
题型:简答题
|
分值: 12分

已知函数f(x)=ln﹣ax2+x,

26.讨论函数f(x)的极值点的个数;

27.若f(x)有两个极值点x1,x2,证明:f(x1)+f(x2)>3﹣4ln2.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

得:

(ⅰ)a=0时,

x∈(0,1),f′(x)<0,x∈(1,+∞),f′(x)>0,

所以x=1,f(x)取得极小值,x=1是f(x)的一个极小值点.

(ⅱ)a<0时,△=1﹣8a>0,令f′(x)=0,得

显然,x1>0,x2<0,

f(x)在x=x1取得极小值,f(x)有一个极小值点.

(ⅲ)a>0时,△=1﹣8a≤0即时,f′(x)≤0,

f(x)在(0,+∞)是减函数,f(x)无极值点.

时,△=1﹣8a>0,令f′(x)=0,得

当x∈(0,x1)和x∈(x2,+∞)f′(x)<0,x∈(x1,x2)时,f′(x)>0,

∴f(x)在x1取得极小值,在x2取得极大值,所以f(x)有两个极值点.

综上可知:(ⅰ)a≤0时,f(x)仅有一个极值点;

(ⅱ) 当时,f(x)无极值点;

(ⅲ)当时,f(x)有两个极值点.

考查方向

利用导数研究函数的极值

解题思路

求出函数的导数,通过讨论a的范围,得到函数的单调区间,从而求出函数的极值的个数;

易错点

分类讨论

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

由(1)知,当且仅当a∈(0,)时,f(x)有极小值点x1和极大值点x2,且x1,x2是方程2ax2﹣x+1=0的两根,

=

=

=

时,g(a)是减函数,

∴f(x1)+f(x2)>3﹣4ln2.

考查方向

构造函数,利用导数证明不等式

解题思路

根据x1,x2是方程2ax2﹣x+1=0的两根,得到,求出f(x1)+f(x2),根据函数的单调性证明即可.

易错点

构造函数

1
题型:简答题
|
分值: 10分

在极坐标系中,已知三点O(0,0),A(2,),B(2).

28.求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程;

29.以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系,圆C2的参数方程为(θ是参数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

ρ=2sin().

解析

将O,A,B三点化成普通坐标为O(0,0),A(0,2),B(2,2).

∴圆C1的圆心为(1,1),半径为

∴圆C1的普通方程为(x﹣1)2+(y﹣1)2=2,

代入普通方程得ρ2﹣2ρcosθ﹣2ρsinθ=0,

∴ρ=2sin().

考查方向

简单曲线的极坐标方程

解题思路

求出圆C1的普通方程,再将普通方程转化为极坐标方程;

易错点

将普通方程转化为极坐标方程

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

a=±

解析

圆C2的参数方程为(θ是参数),

∴圆C2的普通方程为(x+1)2+(y+1)2=a2.∴圆C2的圆心为(﹣1,﹣1),半径为|a|,

∵圆C1与圆C2外切,∴2=+|a|,解得a=±

考查方向

圆的参数方程

解题思路

将圆C2化成普通方程,根据两圆外切列出方程解出a

易错点

圆与圆的位置关系的等价条件

1
题型:简答题
|
分值: 10分

已知f(x)=|x+1|+|x﹣1|.

30.求不等式f(x)<4的解集;

31.若不等式f(x)﹣|a﹣1|<0有解,求a的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(﹣2,2)

解析

f(x)=|x+1|+|x﹣1|<4

解得:﹣2<x≤﹣1或﹣1<x≤1或1<x<2,

故不等式的解集为(﹣2,2);

考查方向

绝对值不等式的解法

解题思路

通过讨论x的范围得到关于x的不等式组,解出即可;

易错点

绝对值不等式中分段讨论法

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞)

解析

∵f(x)=|x+1|+|x﹣1|≥|(x+1)﹣(x﹣1)|=2,

∴f(x)min=2,当且仅当(x+1)(x﹣1)≤0时取等号,

而不等式f(x)﹣|a﹣1|<0有解⇔|a﹣1|>f(x)min=2,

又|a﹣1|>2⇔a﹣1<﹣2或a﹣1>2

故a的取值范围是(﹣∞,﹣1)∪(3,+∞).

考查方向

绝对值三角不等式

解题思路

根据绝对值的性质求出f(x)的最小值,问题转化为|a﹣1|>f(x)min,求出a的范围即可.

易错点

强化函数、转化化归思想方法的灵活应用

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