数学 热门试卷

本题考查了直线与圆的位置关系

直线ax + y = 0与圆相切

圆心(2,2) 半径为2.

则圆心到直线的距离等于半径.

∴8a=0,∴a=0.
故答案为0.

本题考查等差数列的通项公式,前n项和公式
. 设公差为d.

∴15d=18d+30
∴-3d=30,∴d=-10

对于一切n成立,
则 .
由 , 得 .
又 , .
取 即可.答案不唯一.
故答案为5.

本题考查了对数函数的单调性,对数解不等式在实际问题中的应用


在 上单增



故答案为 [700,4900)

本题主要考查了求三角形面积、三棱锥的体积

在中
BC=BD=2;

由余弦定理

如图:取CD中点M,连AM,BM,

∵AC = AD，AM⊥CD
BC = BD，BM⊥CD

∴CD⊥面ABM

在中 , , BM=1

故答案为:;

本题考查了利用导数研究函数的性质、函数的最值、极值、函数的图像以及解的个数。

令

∴ g(x)为偶函数


严格递增，又 。
列表如下：

的值域为

①    的性质由以上分析列表如下

（x=0取到）

f(x)最小值为，否则 离近的端点值，二者皆可取到，
故f(x)在(-1,1]上既有最大又有最小值. 故①正确.

②. C=0, . 令
或 ，令
由以上分析, 当 u(x)=-1时, 当x=0时.
有1个解.
当 u(x)=-1时,由以上分析可知.有2个解
∴故有三个解.故②正确;

③.当C=1时, .
,

令
在上严格递增，
 (开端点取不到)
 (闭端点取到)
在左端附近趋于 (取不到)
在处取到
，故在上的最大值
为，在时取到，有最大值
故③正确

④.当时，
或
前者，由以上分析，有两个解。
后者，知恒成立，
也有2个解，又
四解互异，故有4个交点，故④正确
综上答案为①②③④.

本题考查了的三角函数性质，两角和差的三角公式.
函数的周期性、单调性.
(1)

.

,
又

,令（舍）

(2)于是
令，
时为单调递减


的单调递减区间为k∈Z.

本题考查了求随机变量的概率，以及方差，考查了计算能力与分析问题的能力
（1）由题可知，数学成绩不高于120分的人数为：40 + 60 + 60 = 160
则数学成绩不高于120分为事件A

故数学成绩不高于120分的概率为．
（2）由频率估计概率：偏高：，偏低：；
正常：．独立抽取4人，恰好2人偏高，2人偏低

故恰有2人“偏高”且2人“偏低”的概率为．
（3）取各组左端点，中间值，右端点分别为
左：81  94  107  120  135；
中：87.5  100.5  113.5  127.5  142.5
右：94  107  120  135  150.
由平均数及方差：得

∴

本题考查了立体几何线面平行判定定理，利用空间向量求面与面
的夹角，动点探究问题.

(1)取CB的中点M连,MD.

∵在直三棱柱中
D为AB中点
M为AC中点

E为的中点


∴四边形为平行四边形.
面
面
面

(2);面
∴建系如图，设

A(0,0,0),,
D(0,1,0),,
,,
若选①.,
※

又代入※中得唯一确定.

设平面PAD的法向量为

令,

设面PDE的法向量为

令,

设面PAD与面PDE的夹角为.

故PAD与面PDE夹角余弦值为

若选②.B(0,2,0)C(2,0,0)

<1>
又<2>

由<1><2>解得唯一确定,以下解题过程与选①相同.

若选③.如图延长EP,,,E为的中点,为的中点

连,∵D为AD的中点,

面

面

面EPD

P是的任意一点，都能使面EPD.

∴此时P点不唯一确定,故不能选③.

本题考查了直线与椭圆的位置关系。求椭圆的标准方程、面积问题。

（1）由题意椭圆的右顶点(2,0),∴a=2
，所∴c=1

椭圆方程为

(2)

设
B、D关于y=x对称
过A(1,1)且斜率为k的直线y-1=k(x-1)
又∵A、Q均在y=x上,
且B、D关于y=x对称
.
∵C、D、Q三点共线,

由题意，

同理

整理得：

即：整理得：
，

设点D到BC的距离为d











若则矛盾
若则

本题考查了导数的几何意义,极值点的个数,利用导数研究函数的性质、分类讨论思想.

（1）由题意：切线方程为

当时，
切线的斜率

当n=1时,成立;

当n≥2时,则不成立;

当n≤-1时,左边非正,右边为正,不成立;

若n=0时,

∴n=1

代入中,得m=2.

∴m=2,n=1.此时

(2)

令
则
由,得,g(x)先增后减
,
,又

∴g(x)在(-1,0)和(0,2)内各有一个零点,结合g(x)先增后减，知g(x)共有两个零点

因此有两个零点，且符号有负变正再变负，∴f(x)的极值点个数为2.

（3）当x≥1时，F(1)=-k<0。
且

在上递减，又
故在上递减，因此x≥1无根。

当0≤x<1时，。
由切线放缩，取，得
。

又∵k＞0，x≥0，。

当x=0时，.
当0
当x<0时，，在单调递增.
F(x)至多有两个零点，又
取充分大的正数t，令x=-t，则。
在内至少有一根。
由，在上为下凸函数，且F(0)＜0。
因此只能从正变负一次，此零点唯一。
∴交点个数为1。