2018年高考真题 数学 (江苏卷)
精品
|
前去估分
填空题 本大题共14小题,每小题5分,共70分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

2.若复数满足,其中i是虚数单位,则的实部为  ▲ 

正确答案

2

1
题型:填空题
|
分值: 5分

4.一个算法的伪代码如图所示,执行此算法,最后输出的S的值为  ▲ 

正确答案

8

1
题型:填空题
|
分值: 5分

3.已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示,那么这5位裁判打出的分数的平均数为  ▲ 

正确答案

90

1
题型:填空题
|
分值: 5分

8.在平面直角坐标系中,若双曲线的右焦点到一条渐近线的距离为,则其离心率的值是  ▲ 

正确答案

2

1
题型:填空题
|
分值: 5分

6.某兴趣小组有2名男生和3名女生,现从中任选2名学生去参加活动,则恰好选中2名女生的概率为  ▲ 

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.函数满足,且在区间上, 则的值为  ▲ 

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

1.已知集合,那么  ▲ 

正确答案

{1,8}

1
题型:填空题
|
分值: 5分

5.函数的定义域为  ▲ 

正确答案

[2,+∞)

1
题型:填空题
|
分值: 5分

10.如图所示,正方体的棱长为2,以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为  ▲ 

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

7.已知函数的图象关于直线对称,则的值是  ▲ 

正确答案

1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.若函数内有且只有一个零点,则上的最大值与最小值的和为  ▲ 

正确答案

–3

1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.已知集合.将的所有元素从小到大依次排列构成一个数列.记为数列的前n项和,则使得成立的n的最小值为  ▲ 

正确答案

27

1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.在中,角所对的边分别为的平分线交于点D,且,则的最小值为  ▲ 

正确答案

9

1
题型:填空题
|
分值: 5分

12.在平面直角坐标系中,A为直线上在第一象限内的点,,以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D.若,则点A的横坐标为  ▲ 

正确答案

3

简答题(综合题) 本大题共130分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 16分

18.(本小题满分16分)

如图,在平面直角坐标系中,椭圆C过点,焦点,圆O的直径为

(1)求椭圆C及圆O的方程;

(2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P

①若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标;

②直线l与椭圆C交于两点.若的面积为,求直线l的方程.

正确答案

(1)因为椭圆C的焦点为

可设椭圆C的方程为.又点在椭圆C上,

所以,解得

因此,椭圆C的方程为

因为圆O的直径为,所以其方程为

(2)①设直线l与圆O相切于,则

所以直线l的方程为,即

,消去y,得

.(*)

因为直线l与椭圆C有且只有一个公共点,

所以

因为,所以

因此,点P的坐标为

②因为三角形OAB的面积为,所以,从而

由(*)得

所以

因为

所以,即

解得舍去),则,因此P的坐标为

综上,直线l的方程为

1
题型:简答题
|
分值: 16分

19.(本小题满分16分)

分别为函数的导函数.若存在,满足,则称为函数的一个“S点”

(1)证明:函数不存在“S点”;

(2)若函数存在“S点”,求实数a的值;

(3)已知函数.对任意,判断是否存在,使函数在区间内存在“S点”,并说明理由.

正确答案

(1)函数fx)=xgx)=x2+2x-2,则f′(x)=1,g′(x)=2x+2.

fx)=gx)且f′(x)= g′(x),得

,此方程组无解,

因此,fx)与gx)不存在“S”点.

(2)函数

x0为fx)与gx)的“S”点,由fx0)=gx0)且f′(x0)=g′(x0),得

,即,(*)

,即,则

时,满足方程组(*),即fx)与gx)的“S”点.

因此,a的值为

(3)对任意a>0,设

因为,且hx)的图象是不间断的,

所以存在∈(0,1),使得,令,则b>0.

函数

fx)=gx)且f′(x)=g′(x),得

,即(**)

此时,满足方程组(**),即是函数fx)与gx)在区间(0,1)内的一个“S点”.

因此,对任意a>0,存在b>0,使函数fx)与gx)在区间(0,+∞)内存在“S点”.

1
题型:简答题
|
分值: 14分

15.(本小题满分14分)

在平行六面体中,

求证:(1)

(2)

正确答案

(1)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,ABA1B1.

因为AB平面A1B1CA1B1平面A1B1C

所以AB∥平面A1B1C

(2)在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,四边形ABB1A1为平行四边形.

又因为AA1=AB,所以四边形ABB1A1为菱形,

因此AB1⊥A1B

又因为AB1⊥B1C1,BCB1C1,

所以AB1⊥BC

又因为A1BBC=BA1B平面A1BCBC平面A1BC

所以AB1⊥平面A1BC

因为AB1平面ABB1A1,

所以平面ABB1A1⊥平面A1BC

1
题型:简答题
|
分值: 14分

16.(本小题满分14分)

已知为锐角,

(1)求的值;

(2)求的值.

正确答案

(1)因为,所以

因为,所以

因此,

(2)因为为锐角,所以

又因为,所以

因此

因为,所以

因此,

1
题型:简答题
|
分值: 14分

17.(本小题满分14分)

某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆O的一段圆弧P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点PMN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为,要求均在线段上,均在圆弧上.设OCMN所成的角为

(1)用分别表示矩形的面积,并确定的取值范围;

(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为.求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

正确答案

(1)连结PO并延长交MNH,则PHMN,所以OH=10.

OOEBCE,则OEMN,所以∠COE=θ

OE=40cosθEC=40sinθ

则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),

CDP的面积为×2×40cosθ(40–40sinθ)=1600(cosθ–sinθcosθ).

NGNMN,分别交圆弧和OE的延长线于GK,则GK=KN=10.

令∠GOK=θ0,则sinθ0=θ0∈(0,).

θ∈[θ0,)时,才能作出满足条件的矩形ABCD

所以sinθ的取值范围是[,1).

答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为

1600(cosθ–sinθcosθ),sinθ的取值范围是[,1).

(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,

设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3kk>0),

则年总产值为4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ–sinθcosθ

=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈[θ0,).

fθ)= sinθcosθ+cosθθ∈[θ0,),

,得θ=

θ∈(θ0,)时,,所以fθ)为增函数;

θ∈()时,,所以fθ)为减函数,

因此,当θ=时,fθ)取到最大值.

答:当θ=时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.

1
题型:简答题
|
分值: 16分

20.(本小题满分16分)

是首项为,公差为d的等差数列,是首项为,公比为q的等比数列.

(1)设,若均成立,求d的取值范围;

(2)若,证明:存在,使得均成立,并求的取值范围(用表示).

正确答案

(1)由条件知:

因为n=1,2,3,4均成立,

n=1,2,3,4均成立,

即11,1d3,32d5,73d9,得

因此,d的取值范围为

(2)由条件知:

若存在d,使得n=2,3,···,m+1)成立,

即当时,d满足
因为,则

从而,对均成立.

因此,取d=0时,均成立.

下面讨论数列的最大值和数列的最小值().

①当时,
时,有,从而

因此,当时,数列单调递增,

故数列的最大值为

②设,当x>0时,

所以单调递减,从而<f(0)=1.

时,

因此,当时,数列单调递减,

故数列的最小值为

因此,d的取值范围为

1
题型:简答题
|
分值: 10分

22.(本小题满分10分)

如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点PQ分别为A1B1,BC的中点.

(1)求异面直线BPAC1所成角的余弦值;

(2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.

正确答案

如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,设ACA1C1的中点分别为OO1,则OBOCOO1⊥OCOO1⊥OB,以为基底,建立空间直角坐标系Oxyz

因为AB=AA1=2,

所以

(1)因为PA1B1的中点,所以

从而

因此,异面直线BPAC1所成角的余弦值为

(2)因为QBC的中点,所以

因此

n=(xyz)为平面AQC1的一个法向量,

不妨取

设直线CC1与平面AQC1所成角为

所以直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值为

1
题型:简答题
|
分值: 20分

21.【选做题】本题包括 A、B、C、D 四小题,请选定其中两小题,并在相应的答题区域内作答.若多做,则按作答的前两小题评分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

A.[选修4—1:几何证明选讲](本小题满分10分)

如图,圆O的半径为2,AB为圆O的直径,PAB延长线上一点,过P作圆O的切线,切点为C.若,求 BC 的长.

B.[选修4—2:矩阵与变换](本小题满分10分)

已知矩阵

(1)求的逆矩阵

(2)若点P在矩阵对应的变换作用下得到点,求点P的坐标.

C.[选修4—4:坐标系与参数方程](本小题满分10分)

在极坐标系中,直线l的方程为,曲线C的方程为,求直线l被曲线C截得的弦长.

D.[选修4—5:不等式选讲](本小题满分10分)

xyz为实数,且x+2y+2z=6,求的最小值.

正确答案

A.[选修4—1:几何证明选讲]

本小题主要考查圆与三角形等基础知识,考查推理论证能力.满分10分.

连结OC.因为PC与圆O相切,所以OCPC

又因为PC=OC=2,

所以OP==4.

又因为OB=2,从而B为Rt△OCP斜边的中点,所以BC=2.

B.[选修4—2:矩阵与变换]

本小题主要考查矩阵的运算、线性变换等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.

(1)因为,所以A可逆,

从而

(2)设P(xy),则,所以

因此,点P的坐标为(3,–1).

C.[选修4—4:坐标系与参数方程]

本小题主要考查曲线的极坐标方程等基础知识,考查运算求解能力.满分10分.

因为曲线C的极坐标方程为

所以曲线C的圆心为(2,0),直径为4的圆.

因为直线l的极坐标方程为

则直线lA(4,0),倾斜角为

所以A为直线l与圆C的一个交点.

设另一个交点为B,则∠OAB=

连结OB,因为OA为直径,从而∠OBA=

所以

因此,直线l被曲线C截得的弦长为

D.[选修4—5:不等式选讲]

本小题主要考查柯西不等式等基础知识,考查推理论证能力.满分10分.

由柯西不等式,得

因为,所以

当且仅当时,不等式取等号,此时

所以的最小值为4.

1
题型:简答题
|
分值: 10分

23.(本小题满分10分)

,对1,2,···,n的一个排列,如果当s<t时,有,则称是排列的一个逆序,排列的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如:对1,2,3的一个排列231,只有两个逆序(2,1),(3,1),则排列231的逆序数为2.记为1,2,···,n的所有排列中逆序数为k的全部排列的个数.

(1)求的值;

(2)求的表达式(用n表示).

正确答案

(1)记为排列abc的逆序数,对1,2,3的所有排列,有

所以

对1,2,3,4的排列,利用已有的1,2,3的排列,将数字4添加进去,4在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此,

(2)对一般的nn≥4)的情形,逆序数为0的排列只有一个:12…n,所以

逆序数为1的排列只能是将排列12…n中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列,所以

为计算,当1,2,…,n的排列及其逆序数确定后,将n+1添加进原排列,n+1在新排列中的位置只能是最后三个位置.

因此,

n≥5时,

因此,n≥5时,

点击 “立即下载”

即可下载本试卷,含解析哦

知道啦