2018年高考真题 理科数学 (北京卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.在复平面内,复数的共轭复数对应的点位于

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.某四棱锥的三视图如图所示,在此四棱锥的侧面中,直角三角形的个数为

A1

B2

C3

D4

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.设集合

A对任意实数a

B对任意实数a,(2,1)

C当且仅当a<0时,(2,1)

D当且仅当时,(2,1)

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.在平面直角坐标系中,记d为点P(cosθ,sinθ)到直线的距离,当θm变化时,d的最大值为

A1

B2

C3

D4

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.“十二平均律”是通用的音律体系,明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例,为这个理论的发展做出了重要贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份,依次得到十三个单音,从第二个单音起,每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f,则第八个单音的频率为

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知集合A={x||x|<2},B={–2,0,1,2},则AB=

A{0,1}

B{–1,0,1}

C{–2,0,1,2}

D{–1,0,1,2}

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.执行如图所示的程序框图,输出的s值为

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.设ab均为单位向量,则“”是“ab”的

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

C
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.设是等差数列,且a1=3,a2+a5=36,则的通项公式为__________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.在极坐标系中,直线与圆相切,则a=__________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.设函数fx)=,若对任意的实数x都成立,则ω的最小值为__________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.若xy满足x+1≤y≤2x,则2y−x的最小值是__________.

正确答案

3

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.能说明“若fx)>f(0)对任意的x∈(0,2]都成立,则fx)在[0,2]上是增函数”为假命题的一个函数是__________.

正确答案

=sinx(答案不唯一)

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.已知椭圆,双曲线.若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为__________;双曲线N的离心率为__________.

正确答案

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

18.(本小题13分)

设函数=[]

(Ⅰ)若曲线y= fx)在点(1,)处的切线与轴平行,求a

(Ⅱ)若x=2处取得极小值,求a的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)因为=[]

所以f ′x)=[2ax–(4a+1)]ex+[ax2–(4a+1)x+4a+3]ex

=[ax2–(2a+1)x+2]ex

f ′(1)=(1–a)e.

由题设知f ′(1)=0,即(1–a)e=0,解得a=1.

此时f (1)=3e≠0.

所以a的值为1.

(Ⅱ)由(Ⅰ)得f ′(x)=[ax2–(2a+1)x+2]ex=ax–1)(x–2)ex

a>,则当x∈(,2)时,f ′(x)<0;

x∈(2,+∞)时,f ′(x)>0.

所以f (x)在x=2处取得极小值.

a,则当x∈(0,2)时,x–2<0,ax–1≤x–1<0,

所以f ′(x)>0.

所以2不是f (x)的极小值点.

综上可知,a的取值范围是(,+∞).

1
题型:简答题
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分值: 12分

17.(本小题12分)

电影公司随机收集了电影的有关数据,经分类整理得到下表:

好评率是指:一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值.

假设所有电影是否获得好评相互独立.

(Ⅰ)从电影公司收集的电影中随机选取1部,求这部电影是获得好评的第四类电影的概率;

(Ⅱ)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部,估计恰有1部获得好评的概率;

(Ⅲ)假设每类电影得到人们喜欢的概率与表格中该类电影的好评率相等,用“”表示第k类电影得到人们喜欢,“”表示第k类电影没有得到人们喜欢(k=1,2,3,4,5,6).写出方差的大小关系.

正确答案

(Ⅰ)由题意知,样本中电影的总部数是140+50+300+200+800+510=2000,

第四类电影中获得好评的电影部数是200×0.25=50.

故所求概率为

(Ⅱ)设事件A为“从第四类电影中随机选出的电影获得好评”,

事件B为“从第五类电影中随机选出的电影获得好评”.

故所求概率为P)=P)+P

=PA)(1–PB))+(1–PA))PB).

由题意知:PA)估计为0.25,PB)估计为0.2.

故所求概率估计为0.25×0.8+0.75×0.2=0.35.

(Ⅲ)>>=>>

1
题型:简答题
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分值: 13分

15.(本小题13分)

在△ABC中,a=7,b=8,cosB=–

(Ⅰ)求∠A

(Ⅱ)求AC边上的高.

正确答案

(Ⅰ)在△ABC中,∵cosB=–,∴B∈(,π),∴sinB=

由正弦定理得=,∴sinA=

B∈(,π),∴A∈(0,),∴∠A=

(Ⅱ)在△ABC中,∵sinC=sin(A+B)=sinAcosB+sinBcosA==

如图所示,在△ABC中,∵sinC=,∴h==

AC边上的高为

1
题型:简答题
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分值: 14分

16.(本小题14分)

如图,在三棱柱ABC中,平面ABCDEFG分别为AC的中点,AB=BC=AC==2.

(Ⅰ)求证:AC⊥平面BEF

(Ⅱ)求二面角B−CDC1的余弦值;

(Ⅲ)证明:直线FG与平面BCD相交.

正确答案

(Ⅰ)在三棱柱ABC-A1B1C1中,

CC1⊥平面ABC

∴四边形A1ACC1为矩形.

EF分别为ACA1C1的中点,

ACEF

AB=BC

ACBE

AC⊥平面BEF

(Ⅱ)由(I)知ACEFACBEEFCC1.

CC1⊥平面ABC,∴EF⊥平面ABC

BE平面ABC,∴EFBE

如图建立空间直角坐标系E-xyz

由题意得B(0,2,0),C(-1,0,0),D(1,0,1),F(0,0,2),G(0,2,1).

设平面BCD的法向量为

,∴

a=2,则b=-1,c=-4,

∴平面BCD的法向量

又∵平面CDC1的法向量为

由图可得二面角B-CD-C1为钝角,所以二面角B-CD-C1的余弦值为

(Ⅲ)由(Ⅱ)知平面BCD的法向量为,∵G(0,2,1),F(0,0,2),

,∴,∴不垂直,

GF与平面BCD不平行且不在平面BCD内,∴GF与平面BCD相交.

1
题型:简答题
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分值: 14分

19.(本小题14分)

已知抛物线C=2px经过点(1,2).过点Q(0,1)的直线l与抛物线C有两个不同的交点AB,且直线PAy轴于M,直线PBy轴于N

(Ⅰ)求直线l的斜率的取值范围;

(Ⅱ)设O为原点,,求证:为定值.

正确答案

(Ⅰ)因为抛物线y2=2px经过点P(1,2),

所以4=2p,解得p=2,所以抛物线的方程为y2=4x

由题意可知直线l的斜率存在且不为0,

设直线l的方程为y=kx+1(k≠0).

依题意,解得k<0或0<k<1.

PAPBy轴相交,故直线l不过点(1,-2).从而k≠-3.

所以直线l斜率的取值范围是(-∞,-3)∪(-3,0)∪(0,1).

(Ⅱ)设Ax1,y1),Bx2,y2).

由(I)知

直线PA的方程为

x=0,得点M的纵坐标为

同理得点N的纵坐标为

所以

所以为定值.

1
题型:简答题
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分值: 14分

20.(本小题14分)

n为正整数,集合A=.对于集合A中的任意元素,记

M)=

(Ⅰ)当n=3时,若,求M)和M)的值;

(Ⅱ)当n=4时,设BA的子集,且满足:对于B中的任意元素,当相同时,M)是奇数;当不同时,M)是偶数.求集合B中元素个数的最大值;

(Ⅲ)给定不小于2的n,设BA的子集,且满足:对于B中的任意两个不同的元素M)=0.写出一个集合B,使其元素个数最多,并说明理由.

正确答案

(Ⅰ)因为α=(1,1,0),β=(0,1,1),所以

M(αα)=[(1+1−|1−1|)+(1+1−|1−1|)+(0+0−|0−0|)]=2,

M(αβ)=[(1+0–|1−0|)+(1+1–|1–1|)+(0+1–|0–1|)]=1.

(Ⅱ)设α=(x1,x 2,x3,x4)∈B,则M(αα)= x1+x2+x3+x4.

由题意知x1,x 2,x3,x4∈{0,1},且M(αα)为奇数,

所以x1,x 2,x3,x4中1的个数为1或3.

所以B{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1),(0,1,1,1),(1,0,1,1),(1,1,0,1),(1,1,1,0)}.

将上述集合中的元素分成如下四组:

(1,0,0,0),(1,1,1,0);(0,1,0,0),(1,1,0,1);(0,0,1,0),(1,0,1,1);(0,0,0,1),(0,1,1,1).

经验证,对于每组中两个元素αβ,均有M(αβ)=1.

所以每组中的两个元素不可能同时是集合B的元素.

所以集合B中元素的个数不超过4.

又集合{(1,0,0,0),(0,1,0,0),(0,0,1,0),(0,0,0,1)}满足条件,

所以集合B中元素个数的最大值为4.

(Ⅲ)设Sk={( x1,x 2,…,xn)|( x1,x 2,…,xn)∈Axk =1,x1=x2=…=xk–1=0)}(k=1,2,…,n),

Sn+1={( x1,x 2,…,xn)| x1=x2=…=xn=0},

A=S1∪S1∪…∪Sn+1.

对于Skk=1,2,…,n–1)中的不同元素αβ,经验证,M(αβ)≥1.

所以Skk=1,2 ,…,n–1)中的两个元素不可能同时是集合B的元素.

所以B中元素的个数不超过n+1.

ek=( x1,x 2,…,xn)∈Skxk+1=…=xn=0(k=1,2,…,n–1).

B=(e1,e2,…,en–1)∪SnSn+1,则集合B的元素个数为n+1,且满足条件.

B是一个满足条件且元素个数最多的集合

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