2015年高考真题文科数学 (广东卷)

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试卷目录

1、单选题

2、简答题

3、填空题

真题试卷
模拟试卷
预测试卷

单选题本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的4个选项中，有且只有一项是符合题目要求。

题型：单选题

分值: 5分

1.若集合，，则（）

正确答案

解析

试题分析：，故选C。

考查方向

集合的交集运算．本题属于基础题。

解题思路

找出集合M集合N中的公共元素。

易错点

符号语言不熟练。

知识点

交集及其运算

题型：单选题

分值: 5分

2.已知是虚数单位，则复数（）

正确答案

解析

，故选D．

考查方向

复数的运算，本题属于基础题。

解题思路

利用完全平方公式展开即可。

易错点

虚数单位的平方为-1.

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算

题型：单选题

分值: 5分

4.若变量，满足约束条件，则的最大值为（）

正确答案

解析

试题分析：作出可行域如图所示：

作直线，再作一组平行于的直线，当直线经过点时，取得最大值，由得：，所以点的坐标为，所以，故选C．

考查方向

线性规划，本题属于基础题。

解题思路

作出可行域，判断目标函数在哪个点取到最大值，然后联立方程求出最优解，代入即可。

易错点

正确画出可行域。判定目标函数何时取最大值。

知识点

求线性目标函数的最值

题型：单选题

分值: 5分

3.下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（）

正确答案

解析

试题分析：函数的定义域为，关于原点对称，因为，，所以函数既不是奇函数，也不是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是偶函数；函数的定义域为，关于原点对称，因为，所以函数是奇函数，故选A．

考查方向

函数的奇偶性．本题属于基础题。

解题思路

判断函数对称性

易错点

奇偶性的判定。

知识点

函数的图象与图象变化

题型：单选题

分值: 5分

5.设的内考角，，的对边分别为，，．若，，，且，则（）

正确答案

解析

试题分析：由余弦定理得：，所以，即，解得：或，因为，所以，故选B．

考查方向

余弦定理．本题属于基础题。

解题思路

利用余弦定理，列出关于b的方程，解出方程即可。

易错点

解一元二次方程时不要出错。注意边长的大小关系。

知识点

诱导公式的推导

题型：单选题

分值: 5分

6.若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则下列命题正确的是（）

A至少与，中的一条相交

B与，都相交

C至多与，中的一条相交

D与，都不相交

正确答案

解析

若直线和是异面直线，在平面内，在平面内，是平面与平面的交线，则至少与，中的一条相交，故选A．

考查方向

空间点、线、面的位置关系，本题属于中等题．

解题思路

画出两个平面以及三条直线，通过观察得出解答。注意作出的直线要符合题意，且考虑要全面。

易错点

考虑空间位置关系时，不全面。

知识点

幂函数的概念、解析式、定义域、值域

题型：单选题

分值: 5分

7.已知件产品中有件次品，其余为合格品．现从这件产品中任取件，恰有一件次品的概率为（）

正确答案

解析

试题分析：件产品中有件次品，记为，，有件合格品，记为，，，从这件产品中任取件，有种，分别是，，，，，，，，，，恰有一件次品，有种，分别是，，，，，，设事件“恰有一件次品”，则，故选B．

考查方向

古典概型．本题属于基础题。

解题思路

列举出所有的基本事件，再找出符合条件的基本事件，便可得解。

易错点

列举时，要注意不重不漏。

知识点

随机事件的频率与概率

题型：单选题

分值: 5分

8.已知椭圆（）的左焦点为，则（）

正确答案

解析

试题分析：由题意得：，因为，所以，故选C．

考查方向

椭圆的简单几何性质．本题属于基础题。

解题思路

由左焦点可得出c，再利用方程，以及a，b，c所满足的关系式，可解出m。

易错点

注意焦点所在的位置。

知识点

椭圆的定义及标准方程

题型：单选题

分值: 5分

9.在平面直角坐标系中，已知四边形是平行四边形，，，则（）

正确答案

解析

试题分析：因为四边形是平行四边形，所以，所以，故选D。

考查方向

1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．本题属于基础题。

解题思路

先用和表示出，再利用向量的数量积公式可得解。

易错点

向量的加法及数量积中的计算要细心。

知识点

平面向量数量积的运算

题型：单选题

分值: 5分

10.若集合，

，用表示集合中的元素个数，则（）

正确答案

解析

试题分析：当时，，，都是取，，，中的一个，有种，当时，，，都是取，，中的一个，有种，当时，，，都是取，中的一个，有种，当时，，，都取，有种，所以，当时，取，，，中的一个，有种，当时，取，，中的一个，有种，当时，取，中的一个，有种，当时，取，有种，所以、的取值有种，同理，、的取值也有种，所以，所以，故选D．

考查方向

推理与证明．属于难题。

解题思路

利用各个字母的取值范围，列举出所有的情况。

易错点

分类讨论进行列举时，要注意做到不重不漏。

知识点

并集及其运算

简答题（综合题）本大题共85分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

题型：简答题

分值: 5分

请从以下两题中选作一题。

14.（坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数），则与交点的直角坐标为．

15.（几何证明选讲选做题）如图，为圆的直径，为的延长线上一点，过作圆的切线，切点为，过作直线的垂线，垂足为．若，，则．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为，由得：，所以与交点的直角坐标为，所以答案应填：．

考查方向

1、极坐标方程化为直角坐标方程；2、参数方程化为普通方程；3、两曲线的交点．本题属于中等题。

解题思路

将极坐标方程转化为普通方程，参数方程也转化为普通方程，然后联立求解。

易错点

方程的转化以及计算问题。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

试题分析：连结，则，因为，所以，所以，由切割线定理得：，所以，即，解得：或（舍去），所以，所以答案应填：．

考查方向

本题考察了切线的性质、平行线分线段成比例定理、切割线定理．属于中等题。

解题思路

利用切割线定理算出圆的半径，再连接OC，利用结合平行线分线段成比例定理，可得解。

易错点

计算时，认清题目中的线段及其比例关系。

题型：简答题

分值: 12分

已知．

16.求的值；

17.求的值．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）

考查方向

本题考察了两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式；同角三角函数的基本关系等，属于中等题.

解题思路

（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得，再分子、分母都除以可得，代入数值，即可得的值．

易错点

注意公式的应用及计算中不要出错。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）．

解析

（2）

考查方向

本题考察了两角和的正切公式、特殊角的三角函数值、二倍角的正、余弦公式；同角三角函数的基本关系等，属于中等题.

解题思路

（1）由两角和的正切公式展开，代入数值，即可得的值；（2）先利用二倍角的正、余弦公式可得，再分子、分母都除以可得，代入数值，即可得的值．

易错点

注意公式的应用及计算中不要出错。

题型：简答题

分值: 14分

设数列的前项和为，．已知，，，

且当时，．

24.求的值；

25.证明：为等比数列；

26.求数列的通项公式．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）当时，，即，解得：

考查方向

本题考察了等比数列的定义、通项公式、等差数列的通项公式.

解题思路

（1）令可得的值；（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．

易错点

证明等比数列时，不能写出几项去验证，而是要利用定义去证明。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）证明见解析；

解析

（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列

考查方向

本题考察了等比数列的定义、通项公式、等差数列的通项公式.

解题思路

易错点

证明等比数列时，不能写出几项去验证，而是要利用定义去证明。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）．

解析

（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，所以

即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，所以，即，所以数列的通项公式是

考查方向

本题考察了等比数列的定义、通项公式、等差数列的通项公式.

解题思路

易错点

证明等比数列时，不能写出几项去验证，而是要利用定义去证明。

题型：简答题

分值: 14分

已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点，．

27.求圆的圆心坐标；

28.求线段的中点的轨迹的方程；

29.是否存在实数，使得直线与曲线只有一个交点？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由得，

∴ 圆的圆心坐标为；

考查方向

本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于难题．

解题思路

第一问，将圆的普通方程化为标准方程，写出圆心坐标

易错点

轨迹方程中，不能忽略了x的取值范围问题。第三问不能忽略直线过轨迹端点时的值。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；（2）；（3）

解析

（2）设，则

∵ 点为弦中点即，

∴ 即，

∴ 线段的中点的轨迹的方程为；

考查方向

本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于难题．

解题思路

第二问，设出中点坐标，利用垂直关系即可找到轨迹方程。

易错点

轨迹方程中，不能忽略了x的取值范围问题。第三问不能忽略直线过轨迹端点时的值。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）

解析

（3）由（2）知点的轨迹是以为圆心为半径的部分圆弧（如下图所示，不包括两端点），且，，又直线：过定点，

当直线与圆相切时，由得，又，结合上图可知当时，直线：与曲线只有一个交点．

考查方向

本题考查圆的标准方程、轨迹方程、直线斜率等知识与数形结合思想等应用，属于难题．

解题思路

第三问，利用数形结合，当相切或者过轨迹端点时，只有一个交点，列出相应的方程，可求解。

易错点

轨迹方程中，不能忽略了x的取值范围问题。第三问不能忽略直线过轨迹端点时的值。

题型：简答题

分值: 14分

如图，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，

，，．

21.证明：平面；

22.证明：；

23.求点到平面的距离．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）证明见解析；

解析

（1）因为四边形是长方形，所以，因为平面，平面，所以平面

考查方向

本题考察了空间中的平行和垂直关系以及点到平面的距离.

解题思路

（1）由四边形是长方形可证，进而可证平面；（2）先证，再证平面，进而可证；（3）取的中点，连结和，先证平面，再设点到平面的距离为，利用可得的值，进而可得点到平面的距离．

易错点

定理的条件不完整，书写格式不规范。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）证明见解析；

解析

（2）因为四边形是长方形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以

考查方向

本题考察了空间中的平行和垂直关系以及点到平面的距离.

解题思路

易错点

定理的条件不完整，书写格式不规范。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）．

解析

（3）取的中点，连结和，因为，所以，在中，

，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，由（2）知：平面，由（1）知：，所以平面，因为平面，所以，设点到平面的距离为，因为，所以，即，所以点到平面的距离是

考查方向

本题考察了空间中的平行和垂直关系以及点到平面的距离.

解题思路

易错点

定理的条件不完整，书写格式不规范。

题型：简答题

分值: 14分

设为实数，函数．

30.若，求的取值范围；

31.讨论的单调性；

32.当时，讨论在区间内的零点个数．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1），因为，所以

当时，，显然成立；当，则有，所以.所以

综上所述，的取值范围是.

考查方向

本题考察了绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值、零点.

解题思路

数（1）先由可得，再对的取值范围进行讨论可得的解，进而可得的取值范围；（2）先写函数的解析式，再对的取值范围进行讨论确定函数的单调性；（3）先由（2）得函数的最小值，再对的取值范围进行讨论确定在区间内的零点个．

易错点

分类讨论要合理，各种情况论证要充分。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）在上单调递增，在上单调递减；

解析

（2）

对于，其对称轴为，开口向上，

所以在上单调递增；

对于，其对称轴为，开口向上，

所以在上单调递减.

综上，在上单调递增，在上单调递减.

考查方向

本题考察了绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值、零点.

解题思路

易错点

分类讨论要合理，各种情况论证要充分。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点．

解析

（3）由（2）得在上单调递增，在上单调递减，所以.

(i)当时，，

令=0，即（x>0）.

因为在上单调递减，所以

而在上单调递增，，所以与在无交点.

当时，，即，所以，所以，因为，所以，即当时，有一个零点x=2.

(ii)当时，，

当时，，，而在上单调递增，

当时，.下面比较与的大小

因为

所以

结合图像不难得当，与有两个交点.

综上，当时，有一个零点x=2；当，与有两个零点.

考查方向

本题考察了绝对值不等式、函数的单调性、函数的最值、零点.

解题思路

易错点

分类讨论要合理，各种情况论证要充分。

题型：简答题

分值: 12分

某城市户居民的月平均用电量（单位：度），以，，，，，，分组的频率分布直方图如图．

18.求直方图中的值；

19.求月平均用电量的众数和中位数；

20.在月平均用电量为，，，的四组用户中，用分层抽样的方法抽取户居民，则月平均用电量在的用户中应抽取多少户？

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由，得，，所以直方图中的值是。

考查方向

本题考察了频率分布直方图以及样本的数字特征、分层抽样等知识，属于中等题。

解题思路

由频率之和等于1，求出的值。

易错点

用频率分布直方图估算样本数字特征的公式，计算。

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2），；

解析

（2）月平均用电量的众数是

因为，所以月平均用电量的中位数在内，设中位数为，由得：，所以月平均用电量的中位数是

考查方向

本题考察了频率分布直方图以及样本的数字特征、分层抽样等知识，属于中等题。

解题思路

由最高矩形的横坐标中点可得众数，由频率之和等于，则可得中位数。

易错点

用频率分布直方图估算样本数字特征的公式，计算。

第(3)小题正确答案及相关解析

正确答案

（3）．

解析

（3）月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，月平均用电量为的用户有户，抽取比例，所以月平均用电量在的用户中应抽取户。

考查方向

本题考察了频率分布直方图以及样本的数字特征、分层抽样等知识，属于中等题。

解题思路

先计算出月平均用电量为的用户的户数，再计算抽取比例，进而可得月平均用电量在的用户中应抽取的户数。

易错点

用频率分布直方图估算样本数字特征的公式，计算。

填空题本大题共3小题，每小题5分，共15分。把答案填写在题中横线上。

题型：填空题

分值: 5分

12.已知样本数据，，，的均值，则样本数据，，，的均值为．

正确答案

解析

试题分析：因为样本数据的均值，所以样本数据的均值为，所以答案应填：11.

考查方向

均值的性质．本题属于基础题。

解题思路

样本数据作线性变化后，其均值也作相应的线性变化。

易错点

不知道均值性质。

知识点

简单随机抽样

题型：填空题

分值: 5分

11.不等式的解集为．（用区间表示）

正确答案

解析

试题分析：由得：，所以不等式的解集为，所以答案应填：．

考查方向

一元二次不等式．本题属于基础题。

解题思路

利用解一元二次不等式的方法直接计出即可。

易错点

注意二次项的系数为负。

知识点

一元二次不等式的解法

题型：填空题

分值: 5分

13.若三个正数，，成等比数列，其中，，则．

正确答案

解析

试题分析：因为三个正数，，成等比数列，所以，因为，所以，所以答案应填：．

考查方向

等比中项．

解题思路

利用等比中项列出方程，即可解出b。

易错点

计算不要出错，注意题目中b为正数。

知识点

运用诱导公式化简求值

文科数学 热门试卷

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

知识点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

易错点

正确答案

解析

考查方向

解题思路

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