文科数学 2018年高三湖南省第一次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

复数的虚部(  )

Ai

B﹣i

C1

D﹣1

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知集合A={x|x2﹣2x﹣3≤0},B={x|y=ln(2﹣x)},则A∩B=(  )

A(1,3)

B(1,3]

C[﹣1,2)

D(﹣1,2)

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长两尺,松日自半,竹日自倍,松竹何日而长等.下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的a,b分别为5,2,则输出的n=(  )

A2

B3

C4

D5

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

对正整数n,有抛物线y2=2(2n﹣1)x,过P(2n,0)任作直线l交抛物线于An,Bn两点,设数列{an}中,a1=﹣4,且an=(其中n>1,n∈N),则数列{an}的前n项和Tn=(  )

A4n

B﹣4n

C2n(n+1)

D﹣2n(n+1)

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知数列{an}为等差数列,Sn为前n项和,公差为d,若=100,则d的值为(  )

A

B

C10

D20

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省张家山出土,这是我国现存最早的有系统的数学典籍,其中记载有求“禾盖”的术:置如其周,令相乘也.又以高乘之,三十六成一.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L与高h,计算其体积V的近似公式V≈L2h.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为3.那么,近似公式V≈L2h相当于将圆锥体积公式中的圆周率π近似取为(  )

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知关于x的函数f(x)=x2﹣2,若点(a,b)是区域内的随机点,则函数f(x)在R上有零点的概率为(  )

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知实数a=1.70.3,b=0.90.1,c=log25,d=log0.31.8,那么它们的大小关系是(  )

Ac>a>b>d

Ba>b>c>d

Cc>b>a>d

Dc>a>d>b

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

设函数f(x)=sin(ωx+φ)﹣cos(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且f(﹣x)=f(x),则(  )

Af(x)在(0,)单调递减

Bf(x)在()单调递减

Cf(x)在(0,)单调递增

Df(x)在()单调递增

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

在正方形网格中,某四面体的三视图如图所示.如果小正方形网格的边长为1,那么该四面体最长棱的棱长为(  )

A4

B6

C4

D2

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知点分别是椭圆的左,右焦点,过且垂直于轴的直线与椭圆交于两点,若△ABF2是锐角三角形,则该椭圆的离心率的取值范围(  )

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知函数f(x)=lnx﹣x3与g(x)=x3﹣ax的图象上存在关于x轴的对称点,则实数a的取值范围为(  )

A(﹣∞,e)

B(﹣∞,e]

C

D

正确答案

D
填空题 本大题共11小题,每小题5分,共55分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

已知(a>0,b>0),且A,B,C三点在同一条直线上,则的最小值为     

正确答案

4

1
题型:填空题
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分值: 5分

已知函数f(x)的定义域是R,f(x)=  (a为小于0的常数)设x1<x2 且f′(x1)=f′(x2),若x2﹣x1 的最小值大于5,则a的范围是  

三.解答题(共8题,共70分)

正确答案

(﹣∞,﹣4)

1
题型:填空题
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分值: 12分

(本题满分12分)

在三棱柱ABC﹣A1B1C1中,△ABC是边长为2的正三角形,侧面BB1C1C是矩形,D、E分别是线段BB1、AC1的中点.

(1)求证:DE∥平面A1B1C1;

(2)若平面ABC⊥平面BB1C1C,BB1=4,求三棱锥A﹣DCE的体积.

正确答案

答案

(1)证明:取棱A1C1的中点F,连接EF、B1F

则由EF是△AA1C1的中位线得EF∥AA1,EF=AA1

又DB1∥AA1,DB1=AA1

所以EF∥DB1,EF=DB1

故四边形DEFB1是平行四边形,从而DE∥B1F

所以DE∥平面A1B1C1(6分)

(Ⅱ)解:因为E是AC1的中点,所以VA﹣DCE=VD﹣ACE=

过A作AH⊥BC于H

因为平面平面ABC⊥平面BB1C1C,所以AH⊥平面BB1C1C,

所以==

所以VA﹣DCE=VD﹣ACE==(12分)

1
题型:填空题
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分值: 12分

(本题满分12分)

已知,其中向量(x∈R),

(1)求函数y=f(x)的单调递增区间;

(2)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f (A)=2,a=,b=,求边长c的值.

正确答案

答案

(1)f (x)==sin2x+cos2x

=2sin(2x+

得 

∴f(x)的单调增区间为.(6分)

(2)f (A)=2sin(2A+)=2,

∴sin(2A+)=1,

∵0<A<π,

∴2A+=

∴A=

由余弦定理得 a2=b2+c2﹣2bccosA,

7=3+c2﹣3c 即 c2﹣3c﹣4=0,

∴c=4或c=﹣1 (不合题意,舍去),

∴c=4.(12分)

1
题型:填空题
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分值: 12分

已知椭圆C:的离心率为,左、右焦点为F1,F2,点M为椭圆C上的任意一点,的最小值为2.

(I)求椭圆C的标准方程;

(II)已知椭圆C的左、右顶点为A,B,点D(a,t)为第一象限内的点,过F2作以BD为直径的圆的切线交直线AD于点P,求证:点P在椭圆C上.

正确答案

答案

(I)设M(x0,y0),F1(﹣c,0),F2(﹣c,0),

=(﹣c﹣x0,y0),=(c﹣x0,y0),(1分)

=(﹣c﹣x0,y0)(c﹣x0,y0)=x02﹣c2+y02,

由∵,y02=b2﹣x02,

=(1﹣)x02+b2﹣c2,(3分)

由﹣a≤x0≤a,则x0=0,则取最小值,最小值为b2﹣c2,

∴b2﹣c2=2,

=,则=

∴a2=4,b2=3,(5分)

则椭圆的标准方程:;(6分)

(II)证明:由(I)可知F2(1,0),设以BD为直径的圆E,其圆心E(2,),D(2,t),B(2,0),

则圆E(x﹣2)2+(y﹣)2=

直线AD的方程为y=(x+2),(8分)

设过点F2与圆E相切的直线方程设为x=ky+1,

=丨丨,则k=

解方程组,解得:,(10分)

将()代入椭圆方程成立,即+=1,

∴点P在椭圆C上.(12分)

1
题型:填空题
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分值: 5分

在△ABC中,a=4,b=5,c=6,则=     

正确答案

1

1
题型:填空题
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分值: 5分

三棱锥P﹣ABC的四个顶点都在球O的球面上,已知PA,PB,PC两两垂直,且PA=1,PB+PC=4,则当三棱锥的体积最大是,球O的表面积为  

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 12分

(本题满分12分)

2016年1月6日北京时间上午11时30分,朝鲜中央电视台宣布“成功进行了氢弹试验”,再次震动了世界.朝鲜声明氢弹试验对周边生态环境未产生任何负面影响,未提及试验地点.中国外交部发表措辞严厉的声明对朝鲜核试验“坚决反对”,朝鲜“氢弹试验”事件引起了我国公民热议,其中丹东市(丹东市和朝鲜隔江)某QQ聊天群有300名网友,新疆乌鲁木齐某微信群由200名微信好友.为了了解不同地区我国公民对“氢弹试验”事件的关注度,现采用分层抽样的方法,从中抽取了100名好友,先分别统计了他们在某时段发表的信息条数,再将两地网友留言信息条数分成5组:[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),分别加以统计,得到如图所示的频率分布直方图.

(1)求丹东市网友的平均留言条数(保留整数);

(2)为了进一步开展调查,从样本中留言条数不足50条的网友中随机抽取2人,求至少抽到一名乌鲁木齐市网友的概率;

(3)规定:“留言条数”不少于70条为“强烈关注”.

①请根据已知条件完成下列2×2的列联表;

②判断是否有90%的把握认为“强烈关注”与网友所在的地区有关?

附:临界值表及参考公式

K2=,n=a+b+c+d

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 10分

选修4-4.坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直l的参数方程是(t是参数)

(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程;

(2)若直线l与曲线C相交于A、B两点,且|AB|=,求直线的倾斜角α的值.

正确答案

答案

(1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2,

∴曲线C的极坐标方程是ρ=4cosθ可化为:

ρ2=4ρcosθ,

∴x2+y2=4x,

∴(x﹣2)2+y2=4.(4分)

(2)将代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4得:

(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4,

化简得t2﹣2tcosα﹣3=0.

设A、B两点对应的参数分别为t1、t2,

∴|AB|=|t1﹣t2|==

∵|AB|=,(7分)

=

∴cos

∵α∈[0,π),

∴直线的倾斜角.(10分)

1
题型:填空题
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分值: 12分

(本题满分12分)

已知函数

(Ⅰ)当0<a≤1时,求函数f(x)的单调区间;

(Ⅱ)是否存在实数a,使得至少有一个x0∈(0,+∞),使f(x0)>x0成立,若存在,求出实数a的取值范围;若不存在,说明理由.

选做题  请考生从22、23题中任选一题作答,共10分。

正确答案

答案

(Ⅰ)函数f(x)的定义域为(0,+∞),

(1)当0<a<1时,由f′(x)>0,得0<x<a或1<x<+∞,由f′(x)<0,得a<x<1

故函数f(x)的单调增区间为(0,a)和(1,+∞),单调减区间为(a,1)

(2)当a=1时,f′(x)≥0,f(x)的单调增区间为(0,+∞)(4分)

(Ⅱ)先考虑“至少有一个x0∈(0,+∞),使f(x0)>x0成立”的否定“∀x∈(0,+∞),f(x)≤x恒成立”.即可转化为a+(a+1)xlnx≥0恒成立.

令φ(x)=a+(a+1)xlnx,则只需φ(x)≥0在x∈(0,+∞)恒成立即可,(6分)

求导函数φ′(x)=(a+1)(1+lnx)

当a+1>0时,在时,φ′(x)<0,在时,φ′(x)>0

∴φ(x)的最小值为,(8分)

,故当时,f(x)≤x恒成立,

当a+1=0时,φ(x)=﹣1,φ(x)≥0在x∈(0,+∞)不能恒成立,(10分)

当a+1<0时,取x=1,有φ(1)=a<﹣1,φ(x)≥0在x∈(0,+∞)不能恒成立,(11分)

综上所述,即或a≤﹣1时,至少有一个x0∈(0,+∞),使f(x0)>x0成立.(12分)

1
题型:填空题
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分值: 10分

选修4-5.不等式选讲

已知函数f(x)=|x+a|+|x﹣2

(1)当a=﹣3时,求不等式f(x)≥3的解集;

(2)若f(x)≤|x﹣4|的解集包含[1,2],求a的取值范围.

正确答案

(1)当a=﹣3时,f(x)≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3,即①,或②

或③

解①可得x≤1,解②可得x∈∅,解③可得x≥4.

把①、②、③的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}.(5分)

(2)原命题即f(x)≤|x﹣4|在[1,2]上恒成立,等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1,2]上恒成立,

等价于|x+a|≤2,等价于﹣2≤x+a≤2,﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1,2]上恒成立.

故当 1≤x≤2时,﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1=﹣3,2﹣x的最小值为0,

故a的取值范围为[﹣3,0].(10分)

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