文科数学 2018年高三福建省第三次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)经过点P(2,﹣2),中心为原点、焦点在x轴上且离心率e=的双曲线方程是(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

根据双曲线的离心率设出双曲线的方程,考虑到焦点在x轴和在y轴两种情况,再代入P(2,﹣2),求出双曲线方程即可.

解:由双曲线离心率e=,焦点在x轴时,设双曲线的方程为=λ,

代入点P(2,﹣2),解得,λ=1

故双曲线的方程为=1.

故选C.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)将长方体截去一个四棱锥,得到的几何体如图所示,则该几何体的左视图为(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

根据三视图的特点,知道左视图从图形的左边向右边看,看到一个正方形的面,在面上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,得到结果.

解:左视图从图形的左边向右边看,

看到一个正方形的面,在面上有一条对角线,对角线是由左下角到右上角的线,

故选C.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)数列{(﹣1)n•n}的前2016项的和S2016为(  )

A﹣2016

B﹣1008

C2016

D1008

正确答案

D

解析

将数列中相邻的两项两两组合,即可得出结果.

解:S2016=﹣1+2﹣3+4﹣5+6+…﹣2015+2016

=(﹣1+2)+(﹣3+4)+(﹣5+6)+…+(﹣2015+2016)

=1+1+1+…+1

=1008.

故选:D.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),且在区间[0,2]上是增函数,则(  )

Af(2)<f(5)<f(8)

Bf(5)<f(8)<f(2)

Cf(5)<f(2)<f(8)

Df(8)<f(2)<f(5)

正确答案

B

解析

根据f(x﹣4)=﹣f(x),可得f(5)=﹣f(1),f(8)=f(0).结合函数f(x)是定义在R上的奇函数,得f(0)=0,再由[0,2]上f(x)是增函数,得f(2)>f(1)>0,所以f(5)<0,f(8)=0,而f(2)>0,可得正确选项.

∵f(x)满足f(x﹣4)=﹣f(x),

∴取x=5,得f(1)=﹣f(5),即f(5)=﹣f(1)

取x=8,得f(4)=﹣f(8).再取x=4,得f(0)=﹣f(4),可得f(8)=f(0)

∵函数f(x)是定义在R上的奇函数

∴f(0)=0,得f(8)=0

∵函数f(x)在区间[0,2]上是增函数,

∴f(0)<f(1)<f(2),

可得f(1)是正数,f(5)=﹣f(1)<0,f(2)>0,

因此f(5)<f(8)<f(2)

故答案为:B

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)已知命题p:函数y=loga(ax+2a)(a>0且a≠1)的图象必过定点(﹣1,1);命题q:函数y=|sinx|的最小正周期为2π,则(  )

A“p∧q”为真

B“p∨q”为假

Cp真q假

Dp假q真

正确答案

C

解析

根据对数函数的性质判断命题p,根据三角函数的性质判断命题q,从而判断出复合命题的真假即可.

命题p:x=﹣1,y=loga(﹣a+2a)=1,

故命题p为真,

命题q:函数y=|sinx|的最小正周期为π,

故命题q为假,

故选:C.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)已知集合A={x|﹣5≤2x﹣1≤3,x∈R},B={x|x(x﹣8)≤0,x∈Z},则A∩B=(  )

A(0,2)

B[0,2]

C{0,2}

D{0,1,2}

正确答案

D

解析

化简集合A={x|﹣2≤x≤2,x∈R},B={0,1,2,3,4,5,6,7,8},根据两个集合的交集的定义求出

A∩B.

解:集合A={x|﹣4≤2x≤4,x∈R}={x|﹣2≤x≤2,x∈R},

B={x|x(x﹣8)≤0,x∈Z}={x|0≤x≤8,x∈Z}={ 0,1,2,3,4,5,6,7,8},

∴A∩B={x|0,1,2},

故选D.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)若x+2y=4,则2x+4y的最小值是(  )

A4

B8

C2

D4

正确答案

B

解析

由基本不等式可得2x+4y=2x+22y≥2=2=8,注意等号成立的条件即可.

解:∵x+2y=4,

∴2x+4y=2x+22y≥2=2=2=8

当且仅当2x=22y即x=2且y=1时取等号,

∴2x+4y的最小值是8

故选:B

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)(2012春•舟山期末)若+=0,则△ABC为(  )

A直角三角形

B钝角三角形

C锐角三角形

D等腰三角形

正确答案

A

解析

由向量式易得=0,可得∠BAC为直角,可判三角形形状.

解:∵+=0,

•(+)=0,

=0,∴∠BAC为直角,

∴△ABC为直角三角形.

故选:A

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)(2015秋•福建月考)不等式组x,y满足,所围成的平面区域面积是(  )

A3

B

C

D5

正确答案

D

解析

先画出不等式组表示的平面区域,求出三角形的顶点坐标,再由三角形面积公式求之即可.

解:不等式组表示的平面区域如图所示,

解得A(﹣2,2)、B(3,﹣2)、O(0,0),

所以S△ABO=×5×2=5.

故选:D.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)若0<α<,﹣<β<0,cos(+α)=,cos()=,则cos(α+)=(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

先利用同角三角函数的基本关系分别求得sin(+α)和sin()的值,进而利用cos(α+)=cos[(+α)﹣()]通过余弦的两角和公式求得答案.

∵0<α<,﹣<β<0,

+α<

∴sin(+α)==,sin()==

∴cos(α+)=cos[(+α)﹣()]=cos(+α)cos()+sin(+α)sin()=

故选C

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)己知曲线f(x)=x3﹣x2+ax﹣1存在两条斜率为3的切线,且切点的横坐标都大于零,则实数a的取值范围为(  )

A(3,+∞)

B(3,

C(﹣∞,]

D(0,3)

正确答案

B

解析

求得f(x)的导数,由题意可得2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根,运用判别式大于0,两根之和大于0,两根之积大于0,解不等式即可得到a的范围.

解:f(x)=x3﹣x2+ax﹣1的导数为f′(x)=2x2﹣2x+a,

由题意可得2x2﹣2x+a=3,即2x2﹣2x+a﹣3=0有两个不等的正根,

则△=4﹣8(a﹣3)>0,x1+x2=1>0,x1x2=(a﹣3)>0,

解得3<a<

故选B.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

(5分)已知向量=(2cosα,2sinα),=(3cosβ,3sinβ),若<>=60°,则直线:xcosα﹣ysinα+=0与圆:(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2=1的位置关系是(  )

A相交

B相交且过圆心

C相切

D相离

正确答案

C

解析

利用向量的数量积的定义可求得cosαcosβ+sinαsinβ=,求出圆心到直线的距离正好等于圆的半径,从而得出结论.

解:由题意可得||=2,||=3,=2×3×cos60°=2×3×=3,

=(2cosα,2sinα)•(3cosβ,3sinβ)=6cosαcosβ+6sinαsinβ=3,

∴cosαcosβ+sinαsinβ=

圆(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2=1的圆心坐标为(cosβ,﹣sinβ),半径为1;

∵圆心(cosβ,﹣sinβ)到直线2xcosα﹣2ysinα+1=0的距离为 ==1,

∴直线2xcosα﹣2ysinα+1=0与圆(x﹣cosβ)2+(y+sinβ)2=1相切,

故选 C.

【点评】本题主要考查了向量的数量积的定义及坐标表示,直线与圆的位置关系的判断,综合应用向量,点到直线的距离公式等知识,属于中档题.

二.填空题:(本大题共4小题,每小题5分,满分20分)

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

(5分)椭圆的离心率为,则m=

正确答案

3或

解析

方程中4和m哪个大,哪个就是a2,利用离心率的定义,分0<m<4和m>4两种情况求出m的值.

方程中4和m哪个大,哪个就是a2,

(ⅰ)若0<m<4,则a2=4,b2=m,

∴c=,∴e==,得 m=3;

(ⅱ)m>4,则b2=4,a2=m,

∴c=,∴e==,得 m=

综上:m=3或m=

故答案为:3或

1
题型:填空题
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分值: 5分

(5分)一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,则该正三棱锥的体积是

正确答案

解析

正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上,所以球心是底面三角形的中心,球的半径,就是三棱锥的高,再求底面面积,即可求解三棱锥的体积.

正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上,其中底面的

三个顶点在该球的一个大圆上,所以球心是底面三角形的中心,

设球的半径为1,所以底面三角形的边长为a,

,a=

该正三棱锥的体积:

故答案为:

1
题型:填空题
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分值: 5分

(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,对∀x∈R都有f(x﹣1)=f(x+1)成立,当x∈(0,1]且x1≠x2时,有<0.给出下列命题

(1)f(1)=0

(2)f(x)在[﹣2,2]上有4个零点

(3)点(2016,0)是函数y=f(x)的一个对称中心

(4)x=2014是函数y=f(x)图象的一条对称轴.

则正确是

正确答案

(1)(3)

解析

根据函数奇偶性和周期性,单调性之间的关系,分别进行判断即可得到结论.

【解答】解:∵对∀x∈R都有f(x﹣1)=f(x+1)成立,

∴对∀x∈R都有f(x+2)=f(x)成立,

即函数y=f(x)是周期为2的周期函数,

∴f(1)=f(﹣1).

∵当x∈(0,1]且x1≠x2时,有<0,

∴在区间(0,1]上函数为减函数.

又∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,

∴f(1)=﹣f(﹣1).

∴f(1)=0,即(1)正确;

满足条件的函数y=f(x)的草图如下所示:

由图可知:

f(x)在[﹣2,2]上有:﹣2,﹣1,0,1,2,共5个零点,即(2)错误;

所有(k,0)(k∈Z)点均为函数的对称中心,故(3)(2016,0)是函数y=f(x)的一个对称中心,正确;

函数y=f(x)图象无对称轴,故(4)错误.

∴正确的命题是:(1)(3).

故答案为::(1)(3).

1
题型:填空题
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分值: 5分

(5分)设i是虚数单位,复数为纯虚数,则实数a=.

正确答案

2

解析

复数的分母实数化,利用复数是纯虚数,求出a的值即可.

因为==,是纯虚数,所以a=2.

故答案为:2.

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)如图所示,在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中,E,F分别为线段DD1,BD的中点.

(1)求异面直线EF与BC所成的角的正切值.

(2)求三棱锥C﹣B1D1F的体积.

正确答案

(1)连接BD1,

∵E,F分别为线段DD1,BD的中点,∴EF∥BD1,

故∠D1BC即为异面直线EF与BC所成的角.

∵BC⊥平面CDD1C1,CD1⊂平面CDD1C1,

∴BC⊥CD1.

∵正方体棱长为2,∴CD1=2

∴tan∠D1BC==

所以异面直线EF与BC所成的角的正切值为

(2)∵BB1⊥平面ABCD,CF⊂平面ABCD,

∴BB1⊥CF,

∵CB=CD,F是BD中点,

∴CF⊥BD,又BB1∩BD=B,BB1⊂平面BDD1B1,BD⊂平面BDD1B1,

∴CF⊥平面BDD1B1,

又CF=BD=,S==2

∴V===

所以三棱锥C﹣B1D1F的体积为

解析

(1)连结BD1,则∠D1BC位所求线面角,在Rt△BCD1中计算tan∠D1BC;

(3)证明CF⊥平面BDD1B1,则V=

1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)已知数列{an}为等差数列,a3=5,a7=13,数列{bn}的前n项和为Sn,且有Sn=2bn﹣1,

(1)求{an},{bn}的通项公式.

(2)若{cn}={},{cn}的前n项和为Tn,求Tn.

正确答案

(12分)(1)因为{an}是等差数列,且a3=5,a7=13,设公差为d.

所以,解得

所以an=1+2(n﹣1)=2n﹣1(n∈N*).…(3分)

在{bn}中,因为当n=1时,b1=2b1﹣1,所以b1=1.

当n≥2时,由Sn=2bn﹣1及Sn﹣1=2bn﹣1﹣1可得bn=2bn﹣2bn﹣1,所以bn=2bn﹣1.

所以{bn}是首项为1公比为2的等比数列,所以bn=2n﹣1(n∈N*).…(6分)

(2)cn=),…(8分)

Tn=c1+c2+…+cn

= …(10分)

=(1﹣).(n∈N*).…(12分)

解析

(1)利用已知条件列出方程组求出数列的首项与公差,求解通项公式;由Sn=2bn﹣1及Sn﹣1=2bn﹣1﹣1求解数列{bn}的通项公式.

(2)通过裂项法求解数列的前n项和即可.

1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知a=1,b=2,cosC=

(Ⅰ)求△ABC的周长;

(Ⅱ)求cos(A﹣C)的值.

正确答案

(I)∵c2=a2+b2﹣2abcosC=1+4﹣4×=4,

∴c=2,

∴△ABC的周长为a+b+c=1+2+2=5.

(II)∵cosC=,∴sinC===

∴sinA===

∵a<c,∴A<C,故A为锐角.则cosA==

∴cos(A﹣C)=cosAcosC+sinAsinC=×+×=

解析

(I)利用余弦定理表示出c的平方,把a,b及cosC的值代入求出c的值,从而求出三角形ABC的周长;

(II)根据cosC的值,利用同角三角函数间的基本关系求出sinC的值,然后由a,c及sinC的值,利用正弦定理即可求出sinA的值,根据大边对大角,由a小于c得到A小于C,即A为锐角,则根据sinA的值利用同角三角函数间的基本关系求出cosA的值,然后利用两角差的余弦函数公式化简所求的式子,把各自的值代入即可求出值.

1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)已知抛物线C的准线方程为x=﹣

(Ⅰ)求抛物线C的标准方程;

(Ⅱ) 若过点P(t,0)的直线l与抛物线C相交于A、B两点,且以AB为直径的圆过原点O,求证t为常数,并求出此常数.

正确答案

(Ⅰ)由准线方程为可设抛物线C的方程y2=2px,(p>0).

求得p=,…(2分)

故所求的抛物线C的方程为:y2=x; …(4分)

(Ⅱ)证明:依题意可设过P的直线l方程为:x=my+t(m∈R),…(6分)

设A(x1,y1),B(x2,y2)

得:y2=my+t,

依题意可知△>0恒成立,且y1•y2=﹣t,…(8分)

原点O落在以AB为直径的圆上.

=0即x1x2+y1y2=(y1•y2)2+y1•y2=(﹣t)2﹣t=0.…(10分)

解得:t=1,t=0即t为常数,∴原题得证. …(12分)

(说明:直线l方程也可设为:y=k(x﹣t),但需加入对斜率不存在情况的讨论,否则扣1分)

解析

(Ⅰ)直接利用抛物线的准线方程,求解抛物线C的标准方程即可;

(Ⅱ)设出直线方程与抛物线联立,转化原点O落在以AB为直径的圆上,得到=0,求出t的值即可证明结果.

1
题型:简答题
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分值: 12分

(12分)已知a是大于0的实数,函数f(x)=x2(x﹣a).

(Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线平行与X轴,求a值;

(Ⅱ)求f(x)在区间[0,2]上的最小值;

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设g(x)=f(x)+是[3,+∞)上的增函数,求实数m的最大值.

正确答案

(Ⅰ)由题意得,f(x)=x2(x﹣a)+x=x3﹣ax2,

所以f′(x)=3x2﹣2ax,…(1分)

因为在点(2,f(2))处的切线平行与X轴,

所以f′(2)=3×4﹣2a×2=0,解得a=3; …(3分)

(Ⅱ)令f′(x)=3x2﹣2ax=0,解得x1=0,,…(5分)

①当时,即a≥3时,f(x)在[0,2]上单调递减,则fmin=f(2)=8﹣4a …(6分)

②当,即0<a<3时,

f(x)在[0,]上单调递减,在[,2]上单调递增,从而fmin=f()= …(7分)

综上所述,当0<a<3时,fmin=f()=

当a≥3时,fmin=f(2)=8﹣4a; …(8分)

(Ⅲ)由(Ⅰ)得a=3,所以g(x)=x3﹣3x2+

…(9分)

∵g(x)是[3,+∞)上的增函数,

∴g′(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,

在[3,+∞)上恒成立. …(10分)

设t=(x﹣1)2,t∈[4,+∞),

在[4,+∞)上恒成立.

在[4,+∞)上恒成立 …(12分)

,t∈[4,+∞),

∴h(t)min=h(4)=36,则m≤36,

∴实数m的最大值是36. …(14分)

解析

(Ⅰ)由求导公式和法则求出f′(x),由导数的几何意义和条件列出方程,求出a的值;

(Ⅱ)由f′(x)=0求出临界点,根据已知的区间和临界点进行分类讨论,由导数的符号判断出函数f(x)的单调性,再分别求出函数f(x)的最小值;

(Ⅲ)由题意和求导公式求出g′(x),利用导数与函数单调性的关系,将条件转化为:g′(x)≥0在[3,+∞)上恒成立,设t=(x﹣1)2代入g′(x)化简后,分离出参数m后,利用二次函数的性质求出实数m的范围以及m的最大值.

1
题型:简答题
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分值: 10分

请考生在第(22)、(23)两题任选一题作答.如果多做,则按所做的第一题计分.《选修4-4》

(10分)(2015•开封模拟)在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(﹣1,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρ2﹣6ρcosθ+5=0.

(1)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围;

(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.

正确答案

(1)将曲线ρ2﹣6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程,得圆C:x2+y2﹣6x+5=0

直线l的参数方程为(t为参数)

将其代入圆C方程,得(﹣1+tcosα)2+(tsinα)2﹣6(﹣1+tcosα)+5=0

整理,得t2﹣8tcosα+12=0

∵直线l与圆C有公共点,

∴△≥0,即64cos2α﹣48≥0,可得cosα≤﹣或cosα≥

∵α为直线的倾斜角,得α∈[0,π)

∴α的取值范围为[0,]∪[,π)

(2)由圆C:x2+y2﹣6x+5=0化成参数方程,得(θ为参数)

∵M(x,y)为曲线C上任意一点,

∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2sin(θ+

∵sin(θ+)∈[﹣1,1]

∴2sin(θ+)∈[﹣2,2],可得x+y的取值范围是[3﹣2,3+2].

解析

(1)先根据极坐标与直角坐标互化的公式,算出曲线C的直角坐标方程,再结合直线l的参数方程:,联解得到关于参数t的二次方程,运用根的判别式列式并解之,即可得到角α的取值范围;

(2)由(1)可得曲线C的参数方程,从而得到x+y=3+2sin(θ+),最后结合正弦函数的值域,即可得到x+y的取值范围.

1
题型:简答题
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分值: 10分

选修4﹣5;不等式选讲

已知不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R.

(I)求实数m的取值范围:

(II)在(1)的条件下,当实数m取得最大值时,试判断是否成立?并证明你的结论.

正确答案

(I)由绝对值不等式性质知:

|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3对x∈R恒成立

故不等式|x+1|+|x﹣2|≥m的解集是R,只须m≤3即可

∴m的取值范围是(﹣∞,3]…(4分)

(II)由(I)知实数m的最大值为3

当m=3时,不等式

这是一个正确的不等式,证明如下:

∵2>2

∴6+2+7≥3+2+10,即()2>()2

两边开方得,故原不等式成立. …(10分)

解析

(I)由绝对值不等式的性质:|a±b|≤|a|+|b|,可得已知不等式左边的最小值为3,由此结合题意可得m的取值范围是(﹣∞,3].

(II)在(I)条件下,即证明成立,注意到不等式两边都是正数,所以证明不等式左边的平方大于右边的平方,再开方即可得到不等式成立.

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