2015年高考真题 文科数学 (北京卷)
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.若集合,则(   )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

在数轴上将集合A,B表示出来,如图所示,

由交集的定义可得,为图中阴影部分,即,故选A.

考查方向

本题考查交集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意交集的定义的合理运用.

解题思路

本题主要考查的是集合的交集运算,属于容易题.解题时要看清楚是求“”还是求“”,否则很容易出现错误;一定要注意集合中元素的互异性,防止出现错误.

易错点

集合中元素的互异性,防止出现错误

1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.执行如图所示的程序框图,输出的的值为(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

初值为,进入循环体后,;此时,退出循环,故,故选B.

考查方向

本题主要考查的是程序框图,属于容易题

解题思路

.解题时一定要抓住重要条件“”,否则很容易出现错误.在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算,直到达到输出条件即可.

易错点

循环次数的判断

1
题型: 单选题
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分值: 5分

7.某四棱锥的三视图如图所示,该四棱锥最长棱的棱长为(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

四棱锥的直观图如图所示:

由三视图可知,平面是四棱锥最长的棱,

,故选C.

考查方向

本题考查了由三视图求几何体的最长棱长问题,根据三视图判断几何体的结构特征是解答本题的关键.

解题思路

几何体是四棱锥,且四棱锥的一条侧棱与底面垂直,结合直观图求相关几何量的数据,可得答案.

易错点

几何体框空间结构的判断

1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.圆心为且过原点的圆的方程是(   )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意可得圆的半径为,则圆的标准方程为,故选D.

考查方向

圆的标准方程

解题思路

本题主要考查的是圆的标准方程,属于容易题.解题时一定要抓住重要字眼“过原点”,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是圆的标准方程,即圆心,半径为的圆的标准方程是

易错点

直线过原点

1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.下列函数中为偶函数的是(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

根据偶函数的定义,A选项为奇函数,B选项为偶函数,C选项定义域为不具有奇偶性,D选项既不是奇函数,也不是偶函数,故选B

考查方向

考查根据单调性定义判断函数在一区间上的单调性的方法,以及余弦函数和指数函数的单调性,指数式的运算.

解题思路

根据函数单调性的定义,余弦函数单调性,以及指数函数的单调性便可判断每个选项函数在(-1,1)上的单调性,从而找出正确选项.

易错点

基本函数性质的正确理解运用

1
题型: 单选题
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分值: 5分

4.某校老年、中年和青年教师的人数见下表,采用分层抽样的方法调查教师的身体状况,在抽取的样本中,青年教师有人,则该样本的老年教师人数为(   )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由题意,总体中青年教师与老年教师比例为;设样本中老年教师的人数为,由分层抽样的性质可得总体与样本中青年教师与老年教师的比例相等,即,解得,故选C.

考查方向

本题主要考查的是分层抽样,属于容易题.

解题思路

解题时一定要清楚“”是指抽取前的人数还是指抽取后的人数,否则容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是分层抽样,即抽取比例

易错点

抽取比例的计算

1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.设是非零向量,“”是“”的(   )

A充分而不必要条件

B必要而不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A

解析

,由已知得,即.而当时,还可能是,此时,故“”是“”的充分而不必要条件,故选A.

考查方向

考查充分条件,必要条件,及充分不必要条件的概念,以及判断方法与过程,数量积的计算公式,向量共线的定义,向量夹角的定义..

解题思路

本题主要考查的是充分必要条件和向量共线,属于容易题.解题时一定要注意时,的充分条件,的必要条件,否则很容易出现错误.充分、必要条件的判断即判断命题的真假,在解题中可以根据原命题与其逆否命题进行等价转化.

易错点

向量共线时同向与反向

1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.某辆汽车每次加油都把油箱加满,下表记录了该车相邻两次加油时的情况.

注:“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程

在这段时间内,该车每千米平均耗油量为(   )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

因为第一次邮箱加满,所以第二次的加油量即为该段时间内的耗油量,故耗油量升. 而这段时间内行驶的里程数千米. 所以这段时间内,该车每100千米平均耗油量为升,故选B.

考查方向

平均变化率. 本题考查了学生对表格的理解以及对数据信息的处理能力.

解题思路

由表格信息,得到该车加了48升的汽油,跑了600千米,由此得到该车每100千米平均耗油量.

易错点

实际问题的理解运用

填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

9.复数的实部为         

正确答案

-1

解析

复数,其实部为.

考查方向

本题考查复数的基本运算,复数的基本概念,考查计算能力.

解题思路

接利用复数的乘法运算法则,求解即可.

易错点

复数的乘法运算、实部

1
题型:填空题
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分值: 5分

10.三个数中最大数的是         

正确答案

解析

,所以最大.

考查方向

本题考查数的大小比较,主要考查指数函数和对数函数的单调性的运用,属于基础题.

解题思路

本题主要考查的是比较大小,属于容易题.解题时一定要注意重要字眼“最大数”,否则很容易出现错误.函数值的比较大小,通过与的比较大小,利用基本初等函数的单调性即可比较大小.

易错点

函数大小的判断

1
题型:填空题
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分值: 5分

12.已知是双曲线)的一个焦点,则       

正确答案

解析

由题意知,所以.

考查方向

本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的焦点的求法,属于基础题.

解题思路

解题时要注意双曲线的焦点落在哪个轴上,否则很容易出现错误.解本题需要掌握的知识点是双曲线的简单几何性质,即双曲线)的左焦点,右焦点,其中

易错点

注意焦点在那个坐标轴上

1
题型:填空题
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分值: 5分

13.如图,及其内部的点组成的集合记为中任意一点,则的最大值为       

正确答案

7

解析

由题图可知,目标函数,因此当,即在点处时取得最大值为.

考查方向

本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法.

解题思路

本题主要考查的是线性规划,属于容易题.线性规划类问题的解题关键是先正确画出不等式组所表示的平面区域,然后确定目标函数的几何意义,通过数形结合确定目标函数何时取得最值.

易错点

要看清楚是求“最大值”还是求“最小值”,否则很容易出现错误.

1
题型:填空题
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分值: 5分

14.高三年级位学生参加期末考试,某班位学生的语文成绩,数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.

从这次考试成绩看,

①在甲、乙两人中,其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是        

②在语文和数学两个科目中,丙同学的成绩名次更靠前的科目是        

正确答案

乙;数学

解析

①由图可知,甲的语文成绩排名比总成绩排名靠后;而乙的语文成绩排名比总成绩排名靠前,故填乙.

②由图可知,比丙的数学成绩排名还靠后的人比较多;而总成绩的排名中比丙排名靠后的人数比较少,所以丙的数学成绩的排名更靠前,故填数学.

考查方向

本题考查了对散点图的认识,属于基础题目.

解题思路

解题时一定要抓住重要字眼“语文”和“更”,否则很容易出现错误.解此类图象题一定要观察仔细,分析透彻,提取必要的信息.

易错点

散点图变换趋势的理解运用

1
题型:填空题
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分值: 5分

11.在中,,则         

正确答案

解析

由正弦定理,得,即,所以,所以.

考查方向

本题考查正弦定理的运用,同时考查三角形的边角关系,属于基础题.

解题思路

由正弦定理可得sinB,再由三角形的边角关系,即可得到角B.

易错点

角边关系的正确对应

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 13分

15.(本小题满分13分)已知函数

(Ⅰ)求的最小正周期;

(Ⅱ)求在区间上的最小值.

正确答案

(Ⅰ).(Ⅱ).

解析

(1)试题分析:本题主要考查倍角公式、两角和的正弦公式、三角函数的周期等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.(Ⅰ)先利用倍角公式将降幂,再利用两角和的正弦公式将化简,使之化简成的形式,最后利用计算函数的最小正周期.

(Ⅰ)∵

的最小正周期为.

(2)试题分析:(Ⅱ)将的取值范围代入,先求出的范围,再数形结合得到三角函数的最小值.

(Ⅱ)∵,∴.

,即时,取得最小值.

在区间上的最小值为.

解题思路

(1)解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期,即,函数)的最小正周期是

(2) 解本题需要掌握的知识点是降幂公式、辅助角公式、三角函数的最小正周期和三角函数的图象,即,函数)的最小正周期是

易错点

(1)三角函数和差公式的灵活运用(2)解题时要注意重要条件“”,否则很容易出现错误.

1
题型:简答题
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分值: 13分

16.(本小题满分13分)已知等差数列满足

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)设等比数列满足,问:与数列的第几项相等?

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ)与数列的第项相等.

解析

(1)试题分析:(Ⅰ)利用等差数列的通项公式,将转化成,解方程得到的值,直接写出等差数列的通项公式即可.

(Ⅰ)设等差数列的公差为.

因为,所以.

又因为,所以,故.

所以  .

(2)试题分析:(Ⅱ)先利用第一问的结论得到的值,再利用等比数列的通项公式,将转化为,解出的值,得到的值,再代入到上一问等差数列的通项公式中,解出的值,即项数.

(Ⅱ)设等比数列的公比为.

因为

所以.

所以.

,得.

所以与数列的第项相等.

考查方向

(1)本题主要考查等差数列通项公式等基础知识,考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. (2)本题主要考查的是等比数列的通项公式,属于中档题.本题通过求等比数列的基本量,利用通项公式求解.

解题思路

解本题需要掌握的知识点是等差数列的通项公式,即等差数列的通项公式:

(2)解本题需要掌握的知识点是等比数列的通项公式,即等比数列的通项公式:

易错点

(1)等差数列首相及公差的计算(2)等比数列项数的判断

1
题型:简答题
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分值: 13分

17.(本小题满分13分)某超市随机选取位顾客,记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况,整理成如下统计表,其中“√”表示购买,“×”表示未购买.

(Ⅰ)估计顾客同时购买乙和丙的概率;

(Ⅱ)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的概率;

(Ⅲ)如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买乙、丙、丁中那种商品的可能性最大?

正确答案

(1)0.2. (2) 0.3. (3)同时购买丙的可能性最大.

解析

(1)试题分析:(Ⅰ)由统计表读出顾客同时购买乙和丙的人数,计算出概率

(Ⅰ)从统计表可以看出,在这位顾客中,有位顾客同时购买了乙和丙,所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为.

(2)试题分析:(Ⅱ)先由统计表读出顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买中商品的人数,再计算概率.

(Ⅱ)从统计表可以看出,在在这位顾客中,有位顾客同时购买了甲、丙、丁,另有位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了种商品.所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买种商品的概率可以估计为.

(3)试题分析:(Ⅲ)由统计表读出顾客同时购买甲和乙的人数为,顾客同时购买甲和丙的人数为,顾客同时购买甲和丁的人数为,分别计算出概率,再通过比较大小得出结论.

(Ⅲ)与(Ⅰ)同理,可得:

顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为

顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为

顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为

所以,如果顾客购买了甲,则该顾客同时购买丙的可能性最大.

考查方向

(1)本题主要考查概率公式的应用,属于基础题.(2)本题主要考查互斥事件的概率加法公式的应用,属于基础题.(3) 本题主要考查古典概率的应用,属于基础题.

解题思路

(1)从统计表可得,在这1000名顾客中,同时购买乙和丙的有200人,从而求得顾客同时购买乙和丙的概率.(2) 根据在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的有300人,求得顾客顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率.(3) 在这1000名顾客中,求出同时购买甲和乙的概率、同时购买甲和丙的概率、同时购买甲和丁的概率,从而得出结论.

易错点

(1)概率与频率的关系(2) 互斥事件概率加法公式(3) 概率的计算

1
题型:简答题
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分值: 13分

19.(本小题满分13分)设函数

(Ⅰ)求的单调区间和极值;

(Ⅱ)证明:若存在零点,则在区间上仅有一个零点.

正确答案

(1)单调递减区间是,单调递增区间是;极小值.

(2)略.

解析

(1)试题分析:(Ⅰ)先对求导,令解出,将函数的定义域断开,列表,分析函数的单调性,所以由表格知当时,函数取得极小值,同时也是最小值;

(Ⅰ)由,()得

.

解得.

在区间上的情况如下:

所以,的单调递减区间是,单调递增区间是

处取得极小值.

(2)试题分析:(Ⅱ)利用第一问的表,知为函数的最小值,如果函数有零点,只需最小值,从而解出,下面再分情况分析函数有几个零点.

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在区间上的最小值为.

因为存在零点,所以,从而.

时,在区间上单调递减,且

所以在区间上的唯一零点.

时,在区间上单调递减,且

所以在区间上仅有一个零点.

综上可知,若存在零点,则在区间上仅有一个零点.

解题思路

(1)利用导数求函数的单调性与极值的步骤:①确定函数的定义域;②对求导;③求方程的所有实数根;④列表格.

(2) 证明函数仅有一个零点的步骤:①用零点存在性定理证明函数零点的存在性;②用函数的单调性证明函数零点的唯一性.

易错点

(1)单调区间的判断

(2) 零点个数的确定

1
题型:简答题
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分值: 14分

18.(本小题满分14分)如图,在三棱锥中,平面平面为等边三角形,分别为的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面平面

(Ⅲ)求三棱锥的体积.

正确答案

(1)略.(2略)(3).

解析

(1)试题分析:(Ⅰ)在三角形中,利用中位线的性质得,最后直接利用线面平行的判定得到结论.

(Ⅰ)因为分别为的中点,

所以.

又因为平面

所以平面.

(2)试题分析:(Ⅱ)先在三角形中得到,再利用面面垂直的性质得平面,最后利用面面垂直的判定得出结论.

(Ⅱ)因为的中点,

所以.

又因为平面平面,且平面

所以平面.

所以平面平面.

(3)试题分析(Ⅲ)将三棱锥进行等体积转化,利用,先求出三角形的面积,由于平面,所以为锥体的高,利用锥体的体积公式计算出体积即可.

(Ⅲ)在等腰直角三角形中,

所以.

所以等边三角形的面积.

又因为平面

所以三棱锥的体积等于.

又因为三棱锥的体积与三棱锥的体积相等,

所以三棱锥的体积为.

考查方向

(1)本题考查线面平行的判定,正确运用线面平行的判定定理是关键.(2)本题考查平面与平面垂直的判定,平面与平面垂直的判定定理是关键.(3)本题考查体积的计算,等积法是解决问题的关键.

解题思路

(1)利用三角形的中位线得出OM∥VB,利用线面平行的判定定理证明VB∥平面MOC.(2)证明OC⊥平面VAB,即证明平面MOC⊥平面VAB.(3)利用等体积法求三棱锥V-ABC的体积.

易错点

(1)线线平行、线面平行有关性质的正确运用(2)线线垂直、线面垂直、面面垂直有关性质定理的正确运用(3)三棱锥的体积公式的正确运用

1
题型:简答题
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分值: 14分

20.(本小题满分14分)已知椭圆,过点且不过点的直线与椭圆交于

两点,直线与直线交于点

(Ⅰ)求椭圆的离心率;

(Ⅱ)若垂直于轴,求直线的斜率;

(Ⅲ)试判断直线与直线的位置关系,并说明理由.

正确答案

(Ⅰ).(2)1 (3)直线与直线平行.

解析

(1)试题分析:(Ⅰ)先将椭圆方程化为标准方程,得到的值,再利用计算离心率

(Ⅰ)椭圆的标准方程为.

所以.

所以椭圆的离心率.

(2)试题分析:(Ⅱ)由直线的特殊位置,设出点坐标,设出直线的方程,由于直线相交于点,所以得到点坐标,利用点、点的坐标,求直线的斜率.

(Ⅱ)因为过点且垂直于轴,所以可设.

直线的方程为.

,得.

所以直线的斜率.

(3)分析:(Ⅲ)分直线的斜率存在和不存在两种情况进行讨论,第一种情况,直接分析即可得出结论,第二种情况,先设出直线和直线的方程,将椭圆方程与直线的方程联立,消参,得到,代入到中,只需计算出等于即可证明,即两直线平行.

(Ⅲ)直线与直线平行.证明如下:

当直线的斜率不存在时,由(Ⅱ)可知.

又因为直线的斜率,所以.

当直线的斜率存在时,设其方程为.

,则直线的方程为.

,得点.

,得.

所以.

直线的斜率.

因为

所以.

所以.

综上可知,直线与直线平行.

解题思路

(1)通过将椭圆C的方程化成标准方程,利用离心率计算公式即得结论;

(2)通过令直线AE的方程中x=3,得点M坐标,即得直线BM的斜率;

(3)分直线AB的斜率不存在与存在两种情况讨论,利用韦达定理,计算即可.

易错点

(1)解本题需要掌握的知识点是椭圆的离心率,直线的两点斜率公式和两条直线的位置关系,即椭圆)的离心率.(2)解题时一定要注意直线的斜率是否存在,否则很容易出现错误.(3)若两条直线斜率都存在,则

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