文科数学 2018年高三重庆市第三次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

在等比数列中,公比,若的等差中项为5,则( )

A3

B2

C1

D-1

正确答案

C

解析

由题意得 ,选C....

1
题型: 单选题
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分值: 5分

在复平面内,复数对应的点位于( )

A第一象限

B第二象限

C第三象限

D第四象限

正确答案

D

解析

,对应的点位于第四象限,选D.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知函数,则的值为( )

A2

B-2

C

D

正确答案

C

解析

,选C.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

完成下列两项调查:①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;②从某公司的15名技术员工中选出3名调查工作负担情况,宜采用的抽样方法依次是( )

A①简单随机抽样②系统抽样

B①分层抽样②简单随机抽样

C①系统抽样②分层抽样

D①②都用分层抽样

正确答案

B

解析

试题分析:根据题意,由于①从某社区125户高收入家庭、280户中等收入家庭、95户低收入家庭中选出100户,调查社会购买能力的某项指标;个体差异比较大,故选择分层抽样,对于从某中学的15名艺术特长生中选出3名调查学习负担情况,由于总体较少,则可知抽样方法为简单随机抽样,故答案为B

1
题型: 单选题
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分值: 5分

,则( )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

,选A.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知向量,若向量的夹角为,则实数( )

A

B

C0

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切,已知这个球的体积为,那么这个正三棱柱的底面边长是( )

A

B

C

D9

正确答案

C

解析

由题意得 ,所以 ,选C.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

设变量满足约束条件,则目标函数的最大值为( )

A12

B11

C10

D9.5

正确答案

B

解析

可行域为一个三角形ABC及其内部,其中 ,则直线过点C时取最大值11,选B.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

几何体为一个四棱锥去掉半个圆锥,四棱锥的高为2,底面为正方形,边长为2;圆锥的高为2,底面半径为1,所以体积为 ,选B.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

如图是计算的程序框图,则图中的①,②处分分别为( )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

按A则为计算 ; 按B则为计算 ; 按C则为计算 ; 按 D则为计算 ;所以选D.

1
题型: 单选题
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分值: 5分

直线过抛物线的焦点,与该抛物线及其准线的交点依次为,若,则( )

A1

B2

C3

D4

正确答案

B

解析

在准线的射影为 ,则由

过作 垂线,垂足为 ,则

因此 ,即 ,选B....

1
题型: 单选题
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分值: 5分

若函数与函数有两个公切线,则实数的取值范围是( )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

设公切线在若函数与函数的切点为

则由 ,化简得有两个不同的正根, 令,则,当 时, ;当 时,,因此 ,从而 ,选D.

填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

已知,则__________.

正确答案

解析

1
题型:填空题
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分值: 5分

设数列中,,则数列的通项公式为__________.

正确答案

解析

因为 ,所以数列为以为首项,2为公比的等比数列,即

1
题型:填空题
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分值: 5分

被直线所截得的两段弧弧长之比为1:2,则__________.

正确答案

解析

,由题意得劣弧所对圆心角为 ,所对弦长为 ,所以圆心到直线距离

1
题型:填空题
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分值: 5分

已知为定义在上的奇函数,当时,,则当时,__________.

正确答案

解析

时,

简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数.

(1)求的最小正周期及单调递减区间;

(2)在中,分别是角的对边,若,且的面积为,求外接圆的半径.

正确答案

(1)最小正周期,单调递减区间为.(2)

解析

(I)函数,...

故最小正周期

解得:

故函数的单调递减区间为

(II)由,可得,又,所以

所以,从而.由

由余弦定理有:

,由正弦定理有:

1
题型:简答题
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分值: 12分

某校高二年级进行了百科知识大赛,为了了解高二年级900名同学的比赛情况,现在甲、乙两个班级各随机抽取了10名同学的成绩,比赛成绩满分为100分,80分以上可获得二等奖,90分以上可以获得一等奖,已知抽取的两个班学生的成绩(单位:分)数据的茎叶图如图1所示:

(1)比较两组数据的分散程度(只需要给出结论),并求出甲组数据的频率分布直方图如图2中所示的值;

(2)现从两组数据中获奖的学生里分别随机抽取一人接受采访,求被抽中的甲班学生成绩高于乙班学生成绩的概率.

正确答案

(1)甲组数据更集中,乙组数据更分散,=0.05,=0.02, =0.01.(2)

解析

试题分析:(1)根据数据集中程度确定分散程度,利用频率等于频数除以总数得对应区间概率,再除以组距得值;(2)甲班获奖4人,乙班获奖5人,所以总事件数为,其中甲班学生成绩高于乙班学生成绩的事件数有9个(枚举法),最后根据古典概型概率求法求概率

(I)由茎叶图可知,甲组数据更集中,乙组数据更分散=0.05,=0.02, =0.01.

(II)由茎叶图知:甲班获奖4人,乙班获奖5人,所以.

1
题型:简答题
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分值: 12分

如图,为圆的直径,点在圆上,,矩形所在平面和圆所在的平面互相垂直,已知.

(1)求证:平面平面

(2)设几何体的体积分别为,求的值.

正确答案

(1)见解析(2)4

解析

(I)由于直径所对圆周角为直角,故,由于平面,故,所以平面,由此得到平面平面.(2)过作,根据面面垂直的性质定理可知平面,由此可求得两个几何体的体积,进而求得体积比.

试题解析:

(Ⅰ)证明:如图,∵平面平面,平面平面

平面.

平面,∴

又∵为圆的直径,∴,∴平面.

平面,∴平面平面.

【注】也可证明平面.

(Ⅱ)几何体是四棱锥、是三棱锥,...

过点作,交.

∵平面平面,∴平面.

.

因此,.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知点,动点满足,设动点的轨迹为曲线,将曲线上所有点的纵坐标变为原来的一半,横坐标不变,得到曲线.

(1)求曲线的方程;

(2)是曲线上两点,且为坐标原点,求面积的最大值.

正确答案

(1)(2)面积的最大值为1.

解析

(1)由直接法,即利用坐标表示条件,并化简可得,再根据伸缩变换得曲线E的方程为.(2)设直线方程为:,由点到直线距离公式可得三角形高,由三角形面积公式可得,利用直线方程与椭圆方程联立方程,结合韦达定理及弦长公式可得,代入消元可得一元二次函数,利用二次函数性质求最值.

(I)设

由伸缩变换得:,即曲线E的方程为.

(II)设,直线方程为:

联立,故

,得

故原点到直线的距离,∴

,则,又

.

当斜率不存在时,不存在,综合上述可得面积的最大值为1.

点睛:解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后借助于函数最值的探求来使问题得以解决.

1
题型:简答题
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分值: 12分

已知函数,其中.

(1)设的导函数,求函数的极值;

(2)是否存在常数,使得恒成立,且有唯一解,若存在,求出的值;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)极大值 ,没有极小值(2)

解析

(1)求导数可得,再求导数,即得函数的极值(2)因为单减,结合零点存在定理可得存在,且,又有唯一解,所以 ,解得 ,从而.

(I)

单增;在单减,

极大值 ,没有极小值

(II)由(1)知: ,且单减,且

则必然存在 ,使得单增,单减;

,即 ①...

此时:当 时,由题意知:只需要找实数使得

将①式带入知:

得到 ,从而.

1
题型:简答题
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分值: 10分

请考生在22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.

选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,曲线的方程为,点.

(1)以极点为原点,极轴为轴的正半轴,建立平面直角坐标系,把曲线的极坐标方程化为直角坐标方程,点的极坐标化为直角坐标;

(2)设为曲线上一动点,以为对角线的矩形的一边垂直于轴,求矩形周长的最小值,及此时点的直角坐标.

正确答案

(1),R(2,2).(2)矩形的最小周长为4,点

解析

(1)由可化极坐标方程为直角坐标方程;(2)要求矩形周长的最小值,必须把周长用一个参数表示出来,为此设,则有,且,由正弦函数的性质可得最小值及值.

(1)由于则曲线的方程为,转化成

的极坐标转化成直角坐标为:

(2)设根据题意,得到。则:

,所以

,矩形的最小周长为4,点.

教师点评

极坐标方程与直角坐标方程的互化,椭圆的参数方程,正弦函数的性质.

1
题型:简答题
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分值: 10分

选修4-5:不等式选讲

设函数的最小值是.

(1)求的值;

(2)若,是否存在正实数满足?并说明理由.

正确答案

(1)(2)不存在

解析

(1)根据绝对值定义将函数化为分段函数形式,结合图像可得,解得的值;(2)先利用基本不等式求最值:,而,即,因此,因此不存在.

(I)因为,所以.

(II)

,矛盾.

所以不存在正实数满足条件.

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