理科数学 热门试卷

（1）∵函数f（x）==2cos2x+sin2x=cos2x+sin2x+1=2sin（+2x）+1，

故函数的最小正周期等于=π．

令 2kπ﹣≤+2x≤2kπ+，k∈z，可得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈z，

故函数f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈z．

（2）在△ABC中，∵f（C）=3=2sin（+2C）+1，∴sin（+2C）=1，∴C=．

∵c=1，ab=2，且a＞b，再由余弦定理可得 1=a2+b2﹣2ab•cosC，故 a2+b2=7．

解得 a=2，b=．

【点评】本题主要考查两个向量的数量积公式，复合三角函数的周期性、单调性，以及余弦定理的应用，属于中档题．

解：（Ⅰ） 建立如图所示空间直角坐标系．设AP=AB=2，BE=a

则A（0，0，0），B（0，2，0），P（0，0，2），F（0，1，1），E（a，2，0）

于是，，，

则，

所以AF⊥PE．…（6分）

（Ⅱ）若，则，，

=（2，2，﹣2），

设平面PDE的法向量为=（x，y，z），

由，得：，令x=1，则，

于是，而

设直线AP与平面PDE所成角为θ，

则sinθ==．

∴直线AP与平面PDE所成角为60°．

【点评】本题主要考察用空间向量求直线与平面的夹角以及用向量语言表述线线的垂直．在利用向量语言表述线线的垂直关系时，只要得到数量积为0即可．

（1）由程序框图可知：{an}为等差数列，

=，

++++=，

∴，解得：或（舍去），

∴an=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（2）bn=（2n﹣1）•3n，

∴Tn=1×3+3×32+5×33+…+（2n﹣1）×3n，

∴3Tn=1×32+3×33+5×34+…+（2n﹣1）×3n+1，

∴，

∴Tn=3+（n﹣1）•3n+1．

【点评】本题考查了程序框图，等差数列的通项公式，错位相减法数列求和．

（1）∵椭圆C上一点M到左、右两个焦点F1、F2的距离之和是4，

∴2a=4，即a=2，

又∵离心率e=，

∴=，即b2=3，

∴椭圆C的方程为：；

（2）依题意，，解得：yP=，

设T（1，t），则﹣＜t＜，

∵过点T的直线AB的斜率为，

∴直线AB方程为：x﹣2y+2t﹣1=0，

∴点P到直线AB的距离dP==，

点Q到直线AB的距离dQ==，

联立直线AB与椭圆方程，消去x整理得：

16y2﹣12（2t﹣1）y+12t2﹣12t﹣9=0，

∴y1+y2=，y1y2=，

∴=

=﹣4•

=，

∴|AB|2=+=5，

∴S四边形APBQ=•|AB|•（dP+dQ）

=•••（+）

=•，

记f（t）=﹣4t2+4t+15=﹣4•+16，

则当t=时，f（t）取最大值16，此时S四边形APBQ取最大值，

∴四边形APBQ面积取最大值•=．

【点评】本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．

（1）由||x﹣1|+2|＜5，得﹣5＜|x﹣1|+2＜5

∴﹣7＜|x﹣1|＜3，

得不等式的解为﹣2＜x＜4…（5分）

（2）因为任意x1∈R，都有x2∈R，使得f（x1）=g（x2）成立，

所以{y|y=f（x）}⊆{y|y=g（x）}，

又f（x）=|2x﹣a|+|2x+3|≥|（2x﹣a）﹣（2x+3）|=|a+3|，

g（x）=|x﹣1|+2≥2，所以|a+3|≥2，解得a≥﹣1或a≤﹣5，

所以实数a的取值范围为a≥﹣1或a≤﹣5．…（10分）

【点评】本题考查函数的恒成立，绝对值不等式的解法，考查分析问题解决问题的能力以及转化思想的应用．

证明：（1）因为AB是ΘO的一条切线，AE为割线

所以AB2=AD•AE，

又因为AB=AC，所以AD•AE=AC2…（5分）

（2）由（1）得．

∵∠EAC=∠DAC，∴△ADC∽△ACE，

∴∠ADC=∠ACE．

∵∠ADC=∠EGF，

∴∠EGF=∠ACE，

∴GF∥AC…（10分）

【点评】本题考查圆的切线、割线长的关系，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．

（1）设=x，则（1﹣b2）x2+cx+a=0，（b≠1），

∴0和2是方程的两个根，由韦达定理可知：，解得：，﹣﹣﹣﹣﹣（1分）

∴f（x）=，

由f（﹣2）=＜﹣，解得：﹣1＜c＜3，

又∵b，c∈N*，

∴c=2，b=2，

∴f（x）=（x≠1），﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

于是f′（x）==，

由f′（x）＞0，解得x＜0或x＞2； 由f′（x）＜0，解得0＜x＜1或1＜x＜2，

故函数f（x）的单调递增区间为（﹣∞，0）和（2，+∞），﹣﹣﹣﹣﹣（3分）

单调减区间为（0，1）和（1，2）﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

（2）由已知可得，4Sn•=1，

∴2Sn=an﹣，

当n≥2时，2Sn﹣1=an﹣1﹣，

两式相减得：（an+an﹣1）（an﹣an﹣1+1）=0，

∴an=﹣an﹣1或an﹣an﹣1=﹣1﹣﹣﹣﹣﹣（5分）

当n=1时，2a1=a1﹣，解得：a1=﹣1，

若an=﹣an﹣1，则a2=1这与an≠1矛盾

∴an﹣an﹣1=﹣1，

∴an=﹣n﹣﹣﹣﹣﹣（6分）

∴＜ln＜，

为此，只要证明不等式＜ln＜，x＞0，

令1+=t，x＞0则t＞1，x=，

再令g（t）=t﹣1﹣lnt，g′（t）=1﹣由t∈（1，+∞）知g′（t）＞0，

∴当t∈（1，+∞）时，g（t）单调递增，

∴g（t）＞g（1）=0，于是t﹣1＞lnt，

即＞ln，x＞0　 ①﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

令h（t）=lnt﹣1+，h′（t）=﹣=，

由t∈（1，+∞）知h′（t）＞0，

∴当t∈（1，+∞）时，h（t）单调递增，

∴h（t）＞h（1）=0，于是lnt＞1﹣，

即ln＞，x＞0　　　 ②

由①、②可知＜ln＜，x＞0，

所以，＜ln＜，即1﹣＜ln＜﹣，

∴﹣＜ln＜﹣；﹣﹣﹣﹣﹣（9分）

（3）由（2）可知bn=，则，

在＜ln＜中令n=1，2，3，…，2015，

并将各式相加得：，

即T2016﹣1＜ln2016＜T2015﹣﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，数列与不等式的综合应用，函数的导数判断函数的单调性构造法的应用，分析法证明不等式的方法，属于难题．