理科数学 2018年高三甘肃省第二次模拟考试
精品
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单选题 本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

设复数,则复数的模为(     )

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

为等差数列,公差 ,为其前项和. 若,则(    )

A18

B20

C22

D24

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知集合,则(     )

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

当m=7,n=3时,执行如图所示的程序框图,输出的S值为(  )

A7

B42

C210

D840

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

5.设满足约束条件,则的最小值是(   )

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

函数的图象为(   )

A

B

C

D

正确答案

A
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知函数,且,则以下结论正确的是(   )

A

B

C

D

正确答案

D
1
题型: 单选题
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分值: 5分

若某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,其中左视图是一个边长为2的正三角形,则这个几何体的体积是(  )

A

B

C

D

正确答案

C
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知,则是“”的

A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充分必要条件

D既不充分也不必要条件

正确答案

A
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

 ,则

A

B

C1

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知三棱柱的侧棱与底面垂直,体积为,底面是边长为的正三角形,若为底面的中心,则与平面所成角的大小为(   )

A

B

C

D

正确答案

B
1
题型: 单选题
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分值: 5分

已知为自然对数的底数,若对任意的,总存在唯一的,使得成立,则实数的取值范围是 (    )

A

B

C

D

正确答案

A
填空题 本大题共4小题,每小题5分,共20分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
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分值: 5分

已知点方向上的投影            .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

的等比中项,则的最小值为       .

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

是定义在上的周期为的函数,当时,

,则=___________.

正确答案

1
题型:填空题
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分值: 5分

已知三棱锥三点均在球心为的球表面上,,三棱锥的体积为,则球的表面积是___________.

正确答案

简答题(综合题) 本大题共70分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
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分值: 12分

(本小题12分) 已知数列满足,其中的前项和,.

(Ⅰ)求数列的通项公式

(Ⅱ)若数列满足的前项和为,且对任意的正整数都有,求的最小值.

正确答案

解(1)

两式相减得

注意到

于是,所以.

(2)

所以的最小值为.

1
题型:简答题
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分值: 12分

(本小题12分)如图,平面平面,四边形为矩形,的中点,

(Ⅰ)求证:

(Ⅱ)若时,求二面角的余弦值.

正确答案

(1)证明:连结,因的中点,故

又因平面平面,故平面, 于是.又,所以平面,所以,又因,故平面,所以.          5分

(2)由(1),得,不妨设,取的中点,以为原点,所在的直线分别为轴,建立空间直角坐标系,则,从而

设平面的法向量,由

得,

同理可求得平面的法向量,设的夹角为,则

由于二面角为钝二面角,则余弦值为.      7分

1
题型:简答题
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分值: 12分

(本小题12分)从甲地到乙地要经过3个十字路口,设各路口信号灯工作相互独立,且在各路口遇到红灯的概率分别为.

(Ⅰ)设表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数,求随机变量的分布列和数学期望;

(Ⅱ)若有2辆车独立地从甲地到乙地,求这2辆车共遇到1个红灯的概率.

正确答案

解:(Ⅰ)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3;

则P(X=0)=(1﹣)×(1﹣)(1﹣)=

P(X=1)=×(1﹣)×(1﹣)+(1﹣)××(1﹣)+(1﹣)×(1﹣)×=

P(X=2)=(1﹣)××+×(1﹣)×+××(1﹣)=

P(X=3)=××=

所以,随机变量X的分布列为

随机变量X的数学期望为E(X)=0×+1×+2×+3×=;6分

(Ⅱ)设Y表示第一辆车遇到红灯的个数,Z表示第二辆车遇到红灯的个数,

则所求事件的概率为

P(Y+Z=1)=P(Y=0,Z=1)+P(Y=1,Z=0)

=P(Y=0)•P(Z=1)+P(Y=1)•P(Z=0)

=×+×

=;   (12分)

所以,这2辆车共遇到1个红灯的概率为

1
题型:简答题
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分值: 12分

(本小题12分)如图,在四边形中, , 且为正三角形.

(Ⅰ)求的值;

(Ⅱ)若,求的长.

正确答案

解(Ⅰ)

因为

所以

所以

                                            (6分)

(Ⅱ)设,在中由余弦定理得

代入得 

解得(舍)

     (12分)

1
题型:简答题
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分值: 10分

(本小题10分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(其中为参数),曲线,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系.

(Ⅰ)求曲线的普通方程和曲线的极坐标方程;

(Ⅱ)若射线)与曲线分别交于两点,求

高三数学第理科四次参考答案

正确答案

解:(Ⅰ)∵曲线C1的参数方程为(其中α为参数),

∴曲线C1的普通方程为x2+(y﹣2)2=7.∵曲线C2:(x﹣1)2+y2=1,

∴把x=ρcosθ,y=ρsinθ代入(x﹣1)2+y2=1,

得到曲线C2的极坐标方程(ρcosθ﹣1)2+(ρsinθ)2=1,化简,得ρ=2cosθ.(5分)

(Ⅱ)依题意设A(),B(),

∵曲线C1的极坐标方程为ρ2﹣4ρsinθ﹣3=0,

(ρ>0)代入曲线C1的极坐标方程,得ρ2﹣2ρ﹣3=0,

解得ρ1=3,

同理,将(ρ>0)代入曲线C2的极坐标方程,得

∴|AB|=|ρ1﹣ρ2|=3﹣.( 10分)

1
题型:简答题
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分值: 12分

(本小题12分)已知函数

(Ⅰ)若,求曲线处的切线方程;

(Ⅱ)求的单调区间;

(Ⅲ)设,若对任意,均存在,使得,求的取值范围.

正确答案

解:(Ⅰ)由已知,,所以斜率

又切点(1,2),所以切线方程为,即

故曲线处的切线方程为.−−−−−−−−−−−−−−−−−(4分)

(Ⅱ)

①当时,由于,故,所以的单调递增区间为.−−−−−−(6分)

②当时,由,得在区间,在区间,所以,函数的单调递增区间是,单调递减区间是−−−−---------------−−−−(8分)

(Ⅲ)由已知,转化为,所以

由(Ⅱ)知,当时,上单调递增,值域为,故不符合题意.

时,函数的单调递增区间是,单调递减区间是,故的极大值也为最大值为,所以,解得.所以的取值范围为−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−(12分)

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