文科数学 海淀区2016年高三期末试卷
精品
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单选题 本大题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

8.已知点,抛物线的焦点为,点在抛物线上,若点恰好在的垂直平分线上,则的长度为(    )

A

B

C

D

正确答案

D

解析

因为点在抛物线上,所以点C的坐标可设为 ,则线段PA的中点Q的坐标为 .因为点F的坐标为 ,直线PA与直线FQ垂直,所以 ,即 ,解得 .不妨取点Q的坐标为 ,则 .

考查方向

本题考查的知识点为:

1.中点公式;

2.直线垂直的判定与性质;

3.两点间距离公式.在近几年的各省高考题出现的频率非常高,常圆锥曲线与直线交汇命题.

解题思路

设出线段PA的中点Q的坐标,因直线PA与FQ垂直,可建立方程。

易错点

解方程时易出现错误.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7. 已知函数  则下列结论正确的是(    )

A

B

C函数上单调递增

D函数的值域是

正确答案

D

解析

显然 是奇函数,所以选项A错误;

因为当 时,,所以选项B错误;

 ,解得,所以函数 在区间上单调递减,所以选项C错误;

因为函数 的值域为,函数 的值域为,所以函数 的值域为

故选D.

考查方向

本题考查的知识点有:

1.三角函数的奇偶性;

2.三角函数的单调性;

3.三角函数的值域.

解题思路

常规方法是逐项检验,但如果能发现选项D明显正确,则可避免验证其他三项,以节约时间.

易错点

代数方法易出错,建议画图,直观上判断.

知识点

命题的真假判断与应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

1. 复数(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

  .

考查方向

本题考查了复数的计算能力,在近几年的各省高考题出现的频率非常高,常单独命题.

解题思路

直接按照平方差公式计算即可.

易错点

注意 .

知识点

复数代数形式的乘除运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

3. 如图, 正方形中,的中点,若,则的值为(    )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

因为 ,所以

考查方向

本题考查了平面向量的三角形法则,在近几年的各省高考题出现的频率较低.

解题思路

利用基向量 将向量 分解.

易错点

使用加法公式 ,或者中点公式将使问题变得复杂.

知识点

平面向量的基本定理及其意义向量在几何中的应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4. 如图,在边长为的正方形内有区域(阴影部分所示),张明同学用随机模拟的方法求区域的面积.  若每次在正方形内每次随机产生个点,  并记录落在区域内的点的个数. 经过多次试验,计算出落在区域内点的个数平均值为个,则区域的面积约为(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

 .

考查方向

本题考查了蒙特卡洛方法.在近几年的各省高考题出现的频率较低.

解题思路

先利用蒙特卡洛方法计算出阴影区域所占的比例,再计算阴影区域的面积.

易错点

审题失误.

知识点

与面积、体积有关的几何概型
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

6. 若点不在不等式组表示的平面区域内,则实数的取值范围是(    )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

由题意知:是不等式 的一个解,所以,所以 .

考查方向

本题考查了不等式与半平面的关系,在近几年的各省高考题出现的频率较低.

解题思路

不在不等式组表示的平面区域内,所以点不是不等式组的解.

易错点

审题失误,注意点不在区域内.

知识点

二元一次不等式(组)表示的平面区域
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

2. 已知数列是公比为2的等比数列,且满足,则的值为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

因为,所以 ,所以 .

考查方向

本题考查的知识点为等比数列第二通项公式,在近几年的各省高考题出现的频率较高.

解题思路

先移项,利用等比数列的第二通项公式求出 ,再利用定义求出 .

易错点

不合理变形为,导致无法继续计算.

知识点

等比数列的基本运算
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5. 某程序框图如图所示,执行该程序,如输入的值为1,则输出的值为(    )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

第一次循环: , ;

第二次循环: , ;

第三次循环: , ;因 ,故退出循环,所以 .

考查方向

本题考查了程序框图的读图能力,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

逐步写出循环中各个量的变化,判断条件,直至条件成立.

易错点

循环次数判断错误.

知识点

程序框图
填空题 本大题共6小题,每小题5分,共30分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

9.若,则

正确答案

10

解析

   .

考查方向

本题考查了对数的运算能力.

解题思路

将右侧的常数转化为同底对数.

易错点

对数的运算性质模糊不清致误.

知识点

对数的运算性质
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12. 直线经过点,且与曲线相切,若直线的倾斜角为,则

正确答案

解析

设切点B的横坐标为 ,因为直线的倾斜角为,所以 ,所以 ,所以直线 的方程为 .因为点在直线上,所以,解得 .

考查方向

本题考查了导数的几何意义,在近几年的各省高考题出现的频率较高.

解题思路

设出切点,根据切点与斜率求出直线方程.

易错点

如果由点A与斜率确定直线方程,则该题不易算出.

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线与抛物线的位置关系
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13. 已知圆截直线所得的弦的长度为为,则

正确答案

2或6

解析

由勾股定理知,圆心到直线的距离等于 .

由点到直线的距离知,圆心到直线的距离等于 ,所以,解得 或6.

考查方向

本题考查了圆与直线的相交弦问题.

解题思路

利用不同的计算方法,得到等量关系.

易错点

本题如使用弦长公式求解,会使得问题复杂化.

知识点

直线与圆相交的性质
1
题型:填空题
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分值: 5分

14. 已知,若存在,满足,则称的一个“友好”三角形.

(i) 在满足下述条件的三角形中,存在“友好”三角形的是____:(请写出符合要求的条件的序号

 ;

(ii) 若存在“友好”三角形,且,则另外两个角的度数分别为___.

正确答案

②;

解析

(i) ①因为 ,所以 或 ,所以不存在“友好”三角形;

②因为 ,,所以 或 ;因为 ,,所以 或 ;因为 ,,所以 或 ;当时, 三点可构成三角形.存在“友好”三角形;

因为 ,,所以 或 ;因为 ,,所以 或 ;因为 ,,所以 或 ;  三点无法构成三角形.不存在“友好”三角形;

(ii) ,则,且

 或

 或

 或

三角的构成,可以认为从上述方程组的解中提取组合,可以简单分成四类:

a.三个“-”;

b.三个“+”;

c.两个“-”一个“+”;

d.两个“+”一个“-”.

a.三个“-”;

  (舍).

b.三个“+”;

 (舍).

c.两个“-”一个“+”;

不妨设 ,则  ,即 ,所以 .

d.两个“+”一个“-”.

不妨设 ,则  (舍).

考查方向

本题考查了诱导公式,分类讨论思想,在近几年的各省高考题出现的频率较低.

解题思路

由方程、诱导公式解得,再分类讨论.

易错点

没有检查三角能不能构成三角形致误.

知识点

正弦定理三角形中的几何计算
1
题型:填空题
|
分值: 5分

10. 已知双曲线的一条渐近线通过点, 则其离心率为

正确答案

2,

解析

双曲线的渐近线为 ,因为点在渐近线上,所以 , , ,所以离心率等于

考查方向

本题考查了双曲线的渐近线、离心率,在近几年的各省高考题出现的频率较高.

解题思路

通过渐近线先求出b的值,再求出离心率.

易错点

注意双曲线中是 ,如与椭圆中的关系混淆,则出错.

知识点

双曲线的几何性质
1
题型:填空题
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分值: 5分

11. 某三棱柱的三视图如图所示,则该三棱柱的体积为

正确答案

4

解析

如图,画出三棱柱,可知体积 .

考查方向

本题考查了通过三视图还原实物的能力,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

由三视图可知三棱柱的一个侧面是水平放置的.

易错点

不能还原出实物图像.

知识点

简单空间图形的三视图棱柱、棱锥、棱台的体积
简答题(综合题) 本大题共80分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 13分

15. 等差数列的首项,其前项和为,且

(Ⅰ)求的通项公式;

(Ⅱ)求满足不等式的值.

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)设数列的公差为

因为,所以

因为,所以,即,

所以

(Ⅱ)因为,所以,

所以,所以,

解得,所以的值为

考查方向

本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式.在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

(Ⅰ)将通项公式代入,可求得公差d. 

(Ⅱ)代入求和公式,解不等式即可.

易错点

移项时注意变号.

知识点

由数列的前几项求通项数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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分值: 13分

16. 已知函数

(Ⅰ)求函数的最小正周期;

(Ⅱ)求函数在区间上的最大值与最小值的和.

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)因为

所以函数的最小正周期

(Ⅱ)因为

所以,所以,

根据函数的性质,

时,函数取得最小值

时,函数取得最大值

因为

所以函数在区间上的最大值与最小值的和为

考查方向

本题考查了二倍角公式,周期,单调性与最值,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

(Ⅰ)化为同角同名函数;

(Ⅱ)利用整体思想.

易错点

在第二问中,注意把看成一个整体.

知识点

三角函数的周期性及其求法三角函数中的恒等变换应用三角函数的最值
1
题型:简答题
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分值: 14分

18. 如图,四边形是菱形,平面, ,点的中点.

(Ⅰ)求证:平面

(Ⅱ)求证:平面平面

(Ⅲ)求三棱锥的体积.

正确答案

(Ⅰ)略;

(Ⅱ)略;

(Ⅲ)

解析

(Ⅰ)取中点,连接

因为点的中点,

所以

,且

所以

所以四边形为平行四边形.

所以

平面平面,

所以平面

(Ⅱ)连接

因为四边形为菱形,,所以为等边三角形.

因为中点,所以

又因为平面平面,所以

平面

所以平面

所以平面

平面,所以平面平面

法二:因为四边形为菱形,,所以为等边三角形.

因为中点,所以

又因为平面平面

所以平面平面

又平面平面,

所以平面

所以平面

平面,所以平面平面

(Ⅲ)因为

,   所以.   

考查方向

本题考查了线面平行,面面垂直的证明,体积的求法,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

(Ⅰ)借助于平行四边形,得到线线平行,进而得到线面平行;

(Ⅱ)利用面面垂直的判定定理;

易错点

定理记忆不清致误.

知识点

棱柱、棱锥、棱台的体积直线与平面平行的判定与性质直线与平面垂直的判定与性质平面与平面垂直的判定与性质
1
题型:简答题
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分值: 13分

19. 已知函数

(Ⅰ)当时,求函数单调区间和极值;

(Ⅱ)若关于的方程有解,求实数的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)的极小值,无极大值.的单调递减区间为,单调递增区间为

(Ⅱ)

解析

(Ⅰ)函数的定义域为

时,,

,得

所以的变化情况如下表:

所以处取得极小值,  无极大值.

的单调递减区间为,单调递增区间为

(Ⅱ)因为关于的方程有解,

,则问题等价于函数存在零点,

所以

,得

时,成立,函数上单调递减,

所以函数存在零点.

时,的变化情况如下表:

所以为函数的最小值,

时,即时,函数没有零点,

时,即时,注意到, 所以函数存在零点.

综上,当时,关于的方程有解.

法二:

因为关于的方程有解,

所以问题等价于方程有解,

,所以,

,得

时,的变化情况如下表:

所以函数处取得最大值,而

所以函数存在零点.

时,的变化情况如下表:

所以函数处取得最小值,而

时,即时,函数不存在零点.

,即时,  

所以函数存在零点.

综上,当时,关于的方程有解.

法三:因为关于的方程有解,

所以问题等价于方程有解,

设函数,所以

,得

的变化情况如下表:

所以函数处取得最大值,而

又当时,, 所以,

所以函数的值域为,

所以当时,关于的方程有解,

所以

考查方向

本题考查了利用导数求函数的单调性与极值,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

(Ⅰ)求出函数的导函数,求得稳定点,再利用极值第一判定定理求得极值与单调性. 

(Ⅱ)将方程解的问题转换为函数存在零点问题.

易错点

未注意到函数的定义域致误.

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数求参数的取值范围
1
题型:简答题
|
分值: 14分

20.如图,椭圆的离心率为,其左顶点在圆上.

(Ⅰ)求椭圆的方程;

(Ⅱ)直线与椭圆的另一个交点为,与圆的另一个交点为

(i)当时,求直线的斜率;

(ii)是否存在直线,使得?  若存在,求出直线的斜率;若不存在,

说明理由.

正确答案

(Ⅰ)

(Ⅱ)(i)

(ii)不存在直线,使得

解析

(Ⅰ)

因为椭圆的左顶点在圆上,所以

又离心率为,所以,所以,

所以,

所以的方程为

(Ⅱ)(i)

法一:设点,显然直线存在斜率,

设直线的方程为

与椭圆方程联立得,

化简得到

因为为上面方程的一个根,所以

所以

代入得到,解得,

所以直线的斜率为

(ii)因为圆心到直线的距离为

所以

因为

代入得到

显然,所以不存在直线,使得

法二:(i)设点,显然直线存在斜率且不为

设直线的方程为

与椭圆方程联立得,

化简得到,

显然上面方程的一个根,所以另一个根,即,

代入得到,解得

所以直线的斜率为

(ii)因为圆心到直线的距离为

所以

因为

代入得到

,则,与直线存在斜率矛盾,

所以不存在直线,使得

考查方向

本题考查了椭圆的综合求解能力,在近几年的各省高考题出现的频率较高.

解题思路

(Ⅰ)由椭圆的左顶点求出a,再有离心率求出c,进而求得b的值;

(Ⅱ)(i)联立方程,利用韦达定理求得 ,再利用弦长公式求得斜率k的值. 

(ii)利用垂径定理求解.

易错点

计算量大,易出错.

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
1
题型:简答题
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分值: 13分

17. 为了研究某种农作物在特定温度下(要求最高温度满足:)的生长状况,某农学家需要在十月份去某地进行为期十天的连续观察试验. 现有关于该地区历年10月份日平均最高温度和日平均最低温度(单位:)的记录如下:

(Ⅰ)根据本次试验目的和试验周期,写出农学家观察试验的起始日期.

(Ⅱ)设该地区今年10月上旬(10月1日至10月10日)的最高温度的方差和最低温度的方差分别为,估计的大小?(直接写出结论即可).

(Ⅲ)从10月份31天中随机选择连续三天,求所选3天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率.

正确答案

(Ⅰ)7日或8日.

(Ⅱ)最高温度的方差大.

(Ⅲ)

解析

(Ⅰ)农学家观察试验的起始日期为7日或8日.

(Ⅱ)最高温度的方差大.         

(Ⅲ)设“连续三天平均最高温度值都在[27,30]之间”为事件A,

则基本事件空间可以设为,共计29个基本事件

由图表可以看出,事件A中包含10个基本事件,

所以

所选3天每天日平均最高温度值都在[27,30]之间的概率为.  

考查方向

本题考查了读图识图能力,在近几年的各省高考题出现的频率非常高.

解题思路

(Ⅰ)观察哪一段的温度在27度~30度之间;

(Ⅱ)观察数据的偏离程度;

(Ⅲ)求出基本事件空间.

易错点

基本事件空间计算错误.

知识点

古典概型的概率极差、方差与标准差

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