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题型:填空题
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填空题 · 5 分

16.如图,已知圆轴相切于点,与轴正半轴交于两点ABBA的上方),且.

(Ⅰ)圆的标准方程为_________;

(Ⅱ)圆在点处的切线在轴上的截距为_________.

正确答案

      

解析

设点的坐标为,则由圆轴相切于点知,点的横坐标为,即,半

.又因为,所以,即,所以圆的标准方程为

得:.设圆在点处的切线方程为,则圆心到其距离为:

,解之得.即圆在点处的切线方程为,是令可得

,即圆在点处的切线在轴上的截距为,故应.

考查方向

直线与圆的位置关系    直线的方程;

解题思路

构造方程解答。   按步骤直接计算。

易错点

粗心算错。

知识点

圆的标准方程圆的切线方程
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

4.在平面直角坐标系中,A和B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x+y-4=0相切,则圆C周长的最小值为(     )

Aπ

Bπ

C2π

Dπ

正确答案

A

解析

设直线2x+y-4=0与圆C相切于点D

∵∠AOB=90°,∴点O在圆C上,则点C与点O间的距离等于点C到直线2x+y-4=0的距离

∴点C在以O为焦点,以直线2x+y-4=0为准线的抛物线上

∴当且仅当O,C,D共线时,圆的直径最小为|OD|.

又|OD|==

∴圆C的半径最小为=

∴圆C周长的最小值为2π×=π.

知识点

圆的切线方程直线与圆的位置关系
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

6.已知方程x2+y2+2kx+(4k+10)y+10k+20=0(k≠-1)当k取不同值时表示不同的圆的方程,则其中任意两圆(     )

A都只能相切

B可能相切也可能相交

C相离

D内含

正确答案

A

解析

由于方程可变为(x+k)2+(y+2k+5)2=5(k+1)2

则圆O1的圆心坐标为(-k1,-2k1-5),半径为r1=|k1+1|(k1≠-1);

圆O2的圆心坐标为(-k2,-2k2-5),半径为r2=|k2+1|(k2≠-1),

则r1+r2=(|k1+1|+|k2+1|),r1-r2=(|k1+1|-|k2+1|).

由于||k1+1|-|k2+1||≤|(k1+1)-(k2+1)|≤|k1+1|+|k2+1|,

若|(k1+1)-(k2+1)|=|k1+1|+|k2+1|,则(k1+1)(k2+1)<0,

若||k1+1|-|k2+1||=|(k1+1)-(k2+1)|,则(k1+1)(k2+1)>0,

也就是说当(k1+1)(k2+1)<0时,|(k1+1)-(k2+1)|=|k1+1|+|k2+1|,此时两圆外切.

当(k1+1)(k2+1)>0时,||k1+1|-|k2+1||=|(k1+1)-(k2+1)|,此时两圆内切.

也就是说||k1+1|-|k2+1||≤|(k1+1)-(k2+1)|≤|k1+1|+|k2+1|中仅有等号成立

要么左边等号成立,要么右边等号成立;不可能出现不等的情况.

知识点

圆的切线方程圆与圆的位置关系及其判定
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,为保护河上古桥OA,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区,规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆,且古桥两端O和A到该圆上任意一点的距离均不少于80m,经测量,点A位于点O正北方向60m处,点C位于点O正东方向170m处(OC为河岸),

(1)求新桥BC的长;

(2)当OM多长时,圆形保护区的面积最大?

正确答案

见解析。

解析

解法一:

(1)

如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60),C(170, 0),

直线BC的斜率k BC=-tan∠BCO=-.

又因为AB⊥BC,所以直线AB的斜率k AB=.

设点B的坐标为(a,b),则k BC=

k AB=

解得a=80,b=120. 所以BC=.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0≤d≤60)。

由条件知,直线BC的方程为,即

由于圆M与直线BC相切,故点M(0,d)到直线BC的距离是r,

.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以解得

故当d=10时,最大,即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.

解法二:

(1)

如图,延长OA, CB交于点F.

因为tan∠BCO=.所以sin∠FCO=,cos∠FCO=.

因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tan∠FCO=.

CF=,从而.

因为OA⊥OC,所以cos∠AFB=sin∠FCO==

又因为AB⊥BC,所以BF=AF cos∠AFB==,从而BC=CF-BF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M与BC的切点为D,连接MD,则MD⊥BC,且MD是圆M的半

径,并设MD=r m,OM=d m(0≤d≤60)。

因为OA⊥OC,所以sin∠CFO =cos∠FCO,

故由(1)知,sin∠CFO =所以.

因为O和A到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以解得

故当d=10时,最大,即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.

知识点

圆的切线方程直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

20.已知圆内一定点M(0,1),经M且斜率存在的直线交圆于A、B两点,过点A.B分别作圆的切线。设切线交于点Q。

(1)设点P是圆上的点,求证:过P的圆的切线方程是

(2)求证Q在一定直线上。

正确答案

解析

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知识点

恒过定点的直线圆的切线方程
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