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题型:简答题
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简答题 · 16 分

如图,在平面直角坐标系xOy中,M,N分别是椭圆+=1的顶点,过坐标原点的直线交椭圆于P,A两点,其中点P在第一象限.过P作x轴的垂线,垂足为C.连结AC,并延长交椭圆于点B.设直线PA的斜率为k.

(1)若直线PA平分线段MN,求k的值;

(2)当k=2时,求点P到直线AB的距离d;

(3)对任意的k>0,求证:PA⊥PB.

正确答案

见解析

解析

(1)由题设知,a=2,b=,故M(-2,0),N(0,-),所以线段MN中点的坐标为.由于直线PA平分线段MN,故直线PA过线段MN的中点,又直线PA过坐标原点,所以k=.

(2)直线PA的方程为y=2x,代入椭圆方程得+=1,解得x=±,因此P,A.

于是C,直线AC的斜率为=1,故直线AB的方程为x-y-=0.

因此,.

(3)解法一:将直线PA的方程y=kx代入+=1,解得x=±.记μ=,则P(μ,μk),A(-μ,-μk).于是C(μ,0)。

故直线AB的斜率为,其方程为y=(x-μ),代入椭圆方程得(2+k2)x2-2μk2x-μ2(3k2+2)=0,

解得或x=-μ.因此.

于是直线PB的斜率

因此k1k=-1,所以PA⊥PB.

解法二:设P(x1,y1),B(x2,y2),则x1>0,x2>0,x1≠x2,A(-x1,-y1),C(x1,0).设直线PB,AB的斜率分别为k1,k2.因为C在直线AB上,所以从而k1k+1=2k1k2+1=2

因此k1k=-1,所以PA⊥PB.

知识点

平行向量与共线向量
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若集合,则集合

A

B

C

D

正确答案

D

解析

知识点

平行向量与共线向量
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知f(x)=m(x-2m)(x+m+3),g(x)=-2,若同时满足条件:

x∈R,f(x) <0或g(x) <0

x∈(﹣∝, ﹣4),f(x)g(x) <0

则m的取值范围是

正确答案

解析

根据,可解得。由于题目中第一个条件的限制成立的限制,导致时必须是的。当时,不能做到,所以舍掉。因此,作为二次函数开口只能向下,故,且此时两个根为。为保证此条件成立,需要,和大前提取交集结果为;又由于条件2:要求0的限制,可分析得出在时,恒负,因此就需要在这个范围内有得正数的可能,即应该比两根中小的那个大,当时,,解得,交集为空,舍。当时,两个根同为,舍。当时,,解得,综上所述

知识点

平行向量与共线向量
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设集合,则的子集的个数是

A4

B3

C2

D1

正确答案

A

解析

画出椭圆和指数函数图象,可知其有两个不同交点,记为A1、A2,则的子集应为共四种,故选A.

知识点

平行向量与共线向量
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设变量x,y满足约束条件,则z=2x+y的最大值为

A—2

B4

C6

D8

正确答案

C

解析

知识点

平行向量与共线向量
下一知识点 : 相等向量与相反向量
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