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1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

12.若不等式对一切正数恒成立,则正数的最小值为_________。

正确答案

2

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

从n个正整数1,2,…,n中任意取出两个不同的数,若取出的两数之和等于5的概率为,则n=__________.

正确答案

8

解析

从1,2,…,n中任取两个不同的数共有种取法,两数之和为5的有(1,4),(2,3)2种,所以,即,解得n=8

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

不等式的解集为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

不等式的解集为                .

正确答案

解析

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

如图,已知椭圆的中心在坐标原点,长轴均为且在轴上,短轴长分别

,过原点且不与轴重合的直线的四个交点按纵坐标从

大到小依次为A,B,C,D,记,△和△的面积分别为.

(1)当直线轴重合时,若,求的值;

(2)当变化时,是否存在与坐标轴不重合的直线l,使得?并说明理由。

正确答案

(1);(2)当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2;当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

解析

依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

C1,C2.

其中a>m>n>0,λ=.

(1)解法1:

如图1,若直线l与y轴重合,即直线l的方程为x=0,则S1|BD|·|OM|=a|BD|,S2|AB|·|ON|=a|AB|,

所以.

在C1和C2的方程中分别令x=0,可得yA=m,yB=n,yD=-m,

于是.

,则,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=.

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.

解法2:如图1,若直线l与y轴重合,则

|BD|=|OB|+|OD|=m+n,|AB|=|OA|-|OB|=m-n;

S1|BD|·|OM|=a|BD|,

S2|AB|·|ON|=a|AB|。

所以.

,则,化简得λ2-2λ-1=0.

由λ>1,可解得λ=.

故当直线l与y轴重合时,若S1=λS2,则λ=.

(2)解法1:

如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2,则,所以d1=d2.

又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以,即|BD|=λ|AB|。

由对称性可知|AB|=|CD|,所以|BC|=|BD|-|AB|=(λ-1)|AB|,

|AD|=|BD|+|AB|=(λ+1)|AB|,于是

.①

将l的方程分别与C1,C2的方程联立,可求得

.

根据对称性可知xC=-xB,xD=-xA,于是

.②

从而由①和②式可得

.③

,则由m>n,可得t≠1,于是由③可解得.

因为k≠0,所以k2>0.于是③式关于k有解,当且仅当

等价于由λ>1,可解得<t<1,

,由λ>1,解得λ>,所以

当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2

当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

解法2:如图2,若存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2.根据对称性,不妨设直线l:y=kx(k>0),

点M(-a,0),N(a,0)到直线l的距离分别为d1,d2

,所以d1=d2.

又S1|BD|d1,S2|AB|d2,所以.

因为,所以.

由点A(xA,kxA),B(xB,kxB)分别在C1,C2上,可得,两式相减可得

依题意xA>xB>0,所以.所以由上式解得.

因为k2>0,所以由,可解得.

从而,解得λ>,所以

当1<λ≤时,不存在与坐标轴不重合的直线l,使得S1=λS2

当λ>时,存在与坐标轴不重合的直线l使得S1=λS2.

知识点

一元二次不等式的解法点到直线的距离公式椭圆的几何性质直线与椭圆的位置关系
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若实数满足不等式组的最大值为9,则实数

A-2

B-1

C1

D2

正确答案

C

解析

本题考查了线性规划

作出可行域,因为有最大值,故m>0,联立方程组,得交点为(),(),(),由=9得m=1

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

若不等式的解集为,则实数的值为        。

正确答案

2

解析

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型:简答题
|
简答题 · 12 分

如图,是圆的直径,点是圆上异于的点,直线平面分别是的中点.

(1)记平面与平面的交线为,试判断直线与平面的位置关系,并加以证明;

(2)设(1)中的直线l与圆的另一个交点为,且点Q满足. 记直线与平面所成的角为,异面直线所成的角为,二面角的大小为,求证:.

正确答案

见解析

解析

(1)直线l∥平面PAC,证明如下:

连接EF,因为E,F分别是PA,PC的中点,

所以EF∥AC.

又EF平面ABC,且AC平面ABC,

所以EF∥平面ABC.

而EF平面BEF,且平面BEF∩平面ABC=l,所以EF∥l.

因为l平面PAC,EF平面PAC,

所以直线l∥平面PAC.

(2)

证明:(综合法)如图1,连接BD,由(1)可知交线l即为直线BD,且l∥AC.

因为AB是O的直径,

所以AC⊥BC,

于是l⊥BC.

已知PC⊥平面ABC,而l平面ABC,所以PC⊥l.

而PC∩BC=C,所以l⊥平面PBC.

连接BE,BF,因为BF平面PBC,

所以l⊥BF.

故∠CBF就是二面角E-l-C的平面角,

即∠CBF=β.

,作DQ∥CP,且.

连接PQ,DF,因为F是CP的中点,CP=2PF,

所以DQ=PF,

从而四边形DQPF是平行四边形,PQ∥FD.

连接CD,因为PC⊥平面ABC,所以CD是FD在平面ABC内的射影,

故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角,即∠CDF=θ.

又BD⊥平面PBC,有BD⊥BF,知∠BDF为锐角,

故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角,即∠BDF=α,

于是在Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF中,分别可得

sin θ=,sin α=,sin β=

从而sin αsin β==sin θ,

即sin θ=sin αsin β.

(向量法)如图2,由,作DQ∥CP,且.

图2

连接PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线l即为直线BD.

以点C为原点,向量所在直线分别为x、y、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设CA=a,CB=b,CP=2c,则有C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c),E,F(0,0,c)。

于是=(-a,-b,c),=(0,-b,c),

所以cos α=,从而.

又取平面ABC的一个法向量为m=(0,0,1),可得

设平面BEF的一个法向量为n=(x,y,z),

所以由可得n=(0,c,b)。

于是|cos β|=

从而sin β=.

故sin αsin β==sin θ,即sin θ=sin αsin β

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型: 单选题
|
单选题 · 5 分

,则

A

B

C

D

正确答案

C

解析

,∴,又∵,∴,∴.

知识点

一元二次不等式的解法
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

关于x的不等式ax2-2x+1<0的解集非空的一个必要不充分条件是(  )

Aa<1

Ba≤1

C0<a<1

Da<0

正确答案

B

解析

因为ax2-2x+1<0的解集非空,显然a≤0成立,由解得0<a<1.综上知ax2-2x+1<0的解集非空的充要条件为a<1,因为{a|a<1}⊂{a|a≤1},故选B.

知识点

充要条件的应用一元二次不等式的解法
下一知识点 : 简单的线性规划
百度题库 > 高考 > 理科数学 > 不等式的解法

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