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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列{an}满足:a1=2,且a1,a2,a5成等比数列。

(1)求数列{an}的通项公式;

(2)记Sn为数列{an}的前n项和,是否存在正整数n,使得Sn>60n+800?若存在,求n的最小值;若不存在,说明理由。

正确答案

见解析。

解析

(1)设数列{an}的公差为d,依题意,2,2+d,2+4d成比数列,故有(2+d)2=2(2+4d),

化简得d2﹣4d=0,解得d=0或4,

当d=0时,an=2,

当d=4时,an=2+(n﹣1)•4=4n﹣2。

(2)当an=2时,Sn=2n,显然2n<60n+800,

此时不存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,

当an=4n﹣2时,Sn==2n2

令2n2>60n+800,即n2﹣30n﹣400>0,

解得n>40,或n<﹣10(舍去),

此时存在正整数n,使得Sn>60n+800成立,n的最小值为41,

综上,当an=2时,不存在满足题意的正整数n,

当an=4n﹣2时,存在满足题意的正整数n,最小值为41

知识点

等差数列的性质及应用等比数列的性质及应用数列与不等式的综合
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,及根据商品的最低销售限价a,最高销售限价b(b>a)以及常数x(0<x<1)确定实际销售价格c=a+x(b-a),这里,x被称为乐观系数。

经验表明,最佳乐观系数x恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,据此可得,最佳乐观系数x的值等于_____________。

正确答案

解析

,而,即

又b>a可得(0<x<1),解得

知识点

等比数列的性质及应用数列与不等式的综合一元二次不等式的解法
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知等差数列的公差,前项和为

(1)若成等比数列,求

(2)若,求的取值范围。

正确答案

(1)

(2)

解析

本小题主要考查等比等差数列、等比数列和不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想、化归与转化思想。

(1)因为数列的公差,且成等比数列,

所以

,解得

(2)因为数列的公差,且

所以

,解得

知识点

数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

对于,将n表示为,当,当为0或1,定义如下:在的上述表示中,当,a2,…,ak中等于1的个数为奇数时,bn=1;否则bn=0.

(1)b2+b4+b6+b8=__;

(2)记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数,则cm的最大值是___.

正确答案

(1)3;(2)2.

解析

(1)观察知

一次类推

b2+b4+b6+b8=3;(2)由(1)知cm的最大值为2.

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

在数列中,. 从数列中选出项并按原顺序组成的新数列记为,并称为数列项子列. 例如数列的一个4项子列.

(1)试写出数列的一个3项子列,并使其为等比数列;

(2)如果为数列的一个5项子列,且为等差数列,证明:的公差满足

(3)如果为数列的一个6项子列,且为等比数列,证明:.

正确答案

见解析

解析

(1)解:答案不唯一. 如3项子列:.  ……………… 2分

(2)证明:由题意,知,所以 .…………… 4分

因为 , 所以 ,解得 . 所以.…………… 7分

(3)证明:由题意,设的公比为,则 .

因为的一个6项子列,所以 为正有理数,且.……………… 8分

,且互质,).

时,因为 ,所以

所以 .……………… 10分

时,因为 中的项,且互质,所以

所以

因为 ,所以 .

综上, .……………… 13分

知识点

等比数列的判断与证明数列与不等式的综合
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