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题型:简答题
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简答题 · 14 分

如图,在平面直角坐标系中,点,直线

设圆的半径为,圆心在上。

(1)若圆心也在直线上,过点作圆的切线,

求切线的方程;

(2)若圆上存在点,使,求圆心的横坐

的取值范围。

正确答案

见解析

解析

(1)联立:,得圆心为:C(3,2)。

设切线为:

d=,得:

故所求切线为:

(2)设点M(x,y),由,知:

化简得:

即:点M的轨迹为以(0,1)为圆心,2为半径的圆,可记为圆D。

又因为点在圆上,故圆C圆D的关系为相交或相切。

故:1≤|CD|≤3,其中

解之得:0≤a≤

知识点

直线和圆的方程的应用
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

某个实心零部件的形状是如图所示的几何体,其下部是底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形的四棱台A1B1C1D1-ABCD,上部是一个底面与四棱台的上底面重合,侧面是全等的矩形的四棱柱ABCD-A2B2C2D2.

(1)证明:直线B1D1⊥平面ACC2A2

(2)现需要对该零部件表面进行防腐处理,已知AB=10,A1B1=20,AA2=30,AA1=13(单位:厘米),每平方厘米的加工处理费为0.20元,需加工处理费多少元?

正确答案

见解析

解析

(1)因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的侧面是全等的矩形,

所以AA2⊥AB,AA2⊥AD。又因为AB∩AD=A,所以AA2⊥平面ABCD。

连接BD,因为BD⊂平面ABCD,所以AA2⊥BD。

因为底面ABCD是正方形,所以AC⊥BD。

根据棱台的定义可知,BD与B1D1共面

又已知平面ABCD∥平面A1B1C1D1,且平面BB1D1D∩平面ABCD=BD,

平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1=B1D1,所以B1D1∥BD。于是

由AA2⊥BD,AC⊥BD,B1D1∥BD,可得AA2⊥B1D1,AC⊥B1D1.

又因为AA2∩AC=A,所以B1D1⊥平面ACC2A2.

(2)因为四棱柱ABCD-A2B2C2D2的底面是正方形,侧面是全等的矩形,所以S1=S四棱柱上底面+S四棱柱侧面=(A2B2)2+4AB·AA2=102+4×10×30=1 300(cm2)。

又因为四棱台A1B1C1D1-ABCD的上、下底面均是正方形,侧面是全等的等腰梯形,

所以S2=S四棱台下底面+S四棱台侧面

=(A1B1)2+4×(AB+A1B1)h等腰梯形的高

=202+4×(10+20)

=1 120(cm2)。

于是该实心零部件的表面积为S=S1+S2=1 300+1 120=2 420(cm2),

故所需加工处理费为0.2S=0.2×2 420=484(元)

知识点

直线和圆的方程的应用
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知双曲线C:(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为3,直线y=2与C的两个交点间的距离为.

(1)求a,b;

(2)设过F2的直线l与C的左、右两支分别交于A,B两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列。

正确答案

见解析。

解析

(1)解:由题设知,即,故b2=8a2.

所以C的方程为8x2-y2=8a2.

将y=2代入上式,并求得.

由题设知,,解得a2=1.

所以a=1,.

(2)证明:由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C的方程为8x2-y2=8.①

由题意可设l的方程为y=k(x-3),,代入①并化简得(k2-8)x2-6k2x+9k2+8=0.

设A(x1,y1),B(x2,y2),则

x1≤-1,x2≥1,x1+x2,x1·x2.

于是|AF1|=

=-(3x1+1),

|BF1|=

=3x2+1.

由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1,

即x1+x2.

解得,从而x1·x2.

由于|AF2|=

=1-3x1

|BF2|=

=3x2-1,

故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4,

|AF2|·|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16.

因而|AF2|·|BF2|=|AB|2,所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列。

知识点

直线和圆的方程的应用
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设点M(x0,1),若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,则x0的取值范围是(  )

A[﹣1,1]

B[﹣]

C[﹣]

D[﹣]

正确答案

A

解析

由题意画出图形如图:∵点M(x0,1),∴若在圆O:x2+y2=1上存在点N,使得∠OMN=45°,

∴圆上的点到MN的距离的最大值为1,要使MN=1,才能使得∠OMN=45°,图中M′显然不满足题意,    当MN垂直x轴时,满足题意,∴x0的取值范围是[﹣1,1]。

知识点

直线和圆的方程的应用
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

下图为某算法的程序框图,则程序运行后输出的结果是__________。

正确答案

3

解析

当T=0,k=1时,,所以a=1,T=1,k=2;

当T=1,k=2时,,所以a=0,T=1,k=3;

当T=1,k=3时,,所以a=0,T=1,k=4;

当T=1,k=4时,,所以a=1,T=2,k=5;

当T=2,k=5时,,所以a=1,T=3,k=6.

此时k≥6,所以输出T=3

知识点

直线和圆的方程的应用
下一知识点 : 圆的方程的综合应用
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