数列与函数的综合
共58题

· 数列与函数的综合

数列与函数的综合
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题型：简答题

简答题 · 14 分

已知为正实数，为自然数，抛物线与轴正半轴相交于点，设为该抛物线在点处的切线在轴上的截距。

（1）用和表示；

（2）求对所有都有成立的的最小值；

（3）当时，比较与

的大小，并说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）由已知得，交点A的坐标为，对

则抛物线在点A处的切线方程为：

（2）由（1）知f(n)=,则

即知，对于所有的n成立，

特别地，当n=1时，得到a≥3

当a=3，n≥1时，

当n=0时，=2n+1.故a=3时对所有自然数n均成立.

所以满足条件的a的最小值为3.

（3）由（1）知f(k)=

下面证明：

首先证明0<x<1时，

设函数g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 则.

当时,g'(x)<0; 当

故g（x）在区间（0，1）上的最小值

所以，当0<x<1时，g（x）>0,即得

由0<a<1知

知识点

数列与函数的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数

的图象上。

（1）求数列的通项公式；

（2）令证明：。

正确答案

见解析。

解析

（1）

当；当，适合上式，

（2）证明：由

又

……12分

成立

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的前n项和及其最值数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 13 分

某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%。

（1）求第n年初M的价值的表达式；

（2）设若大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新，证明：须在第9年初对M更新。

正确答案

见解析

解析

（1）当时，数列是首项为120，公差为的等差数列。

当时，数列是以为首项，公比为为等比数列，又，所以

因此，第年初，M的价值的表达式为

（2）设表示数列的前项和，由等差及等比数列的求和公式得

当时，

因为是递减数列，所以是递减数列，又

所以须在第9年初对M更新。

知识点

分段函数模型数列与函数的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

对于，将n表示为,当时，当时为0或1，定义如下：在的上述表示中，当，a2，…，ak中等于1的个数为奇数时，bn=1；否则bn=0.

（1）b2+b4+b6+b8=__；

（2）记cm为数列{bn}中第m个为0的项与第m+1个为0的项之间的项数，则cm的最大值是___.

正确答案

（1）3；（2）2.

解析

（1）观察知；；

一次类推；；

；，，，

b2+b4+b6+b8=３；（2）由（1）知cm的最大值为２.

知识点

数列与函数的综合数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知各项均不相同的等差数列的前四项和，且成等比数列。

（1）求数列的通项公式；

（2）求数列的前n项和Tn。

正确答案

（1）an=n+1（2）Tn=

解析

（1）设公差为d,由已知得 .…………3分

联立解得或（舍去）. …………5分

故. …………6分

（2） …………8分

…………12分

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