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题型:简答题
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简答题 · 13 分

21.数列满足

(1)证明:“对任意”的充要条件是“

(2)若,数列满足,设,若对任意的,不等式的解集非空,求满足条件的实数的最小值。

正确答案

解析

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知识点

充要条件的应用由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数学归纳法的应用
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

对于数列,把作为新数列的第一项,把作为新数列的第项,数列称为数列的一个生成数列,例如,数列的一个生成数列是

已知数列为数列的生成数列,为数列的前项和。

(1)写出的所有可能值;

(2)若生成数列满足,求数列的通项公式;

(3)证明:对于给定的的所有可能值组成的集合为

正确答案

见解析

解析

(1)由已知,

由于

可能值为。…………………………3分

(2)∵

时,

时,

,…………………………5分

的生成数列,

在以上各种组合中,

当且仅当时,才成立。

。…………………………8分

(3)共有种情形。

,即

,分子必是奇数,

满足条件的奇数共有个。…………………………10分

设数列与数列为两个生成数列,数列的前项和为,数列的前项和为,从第二项开始比较两个数列,设第一个不相等的项为第项。

由于,不妨设

所以,只有当数列与数列的前项完全相同时,才有。……12分

共有种情形,其值各不相同。

可能值必恰为,共个。

所有可能值集合为。…………………………13分

知识点

等差数列与等比数列的综合数学归纳法的应用
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题型:简答题
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简答题 · 10 分

已知△ABC的三边长都是有理数。

(1)求证cosA是有理数;

(2)求证:对任意正整数n,cosnA是有理数。

正确答案

见解析。

解析

(方法一)(1)证明:设三边长分别为,∵是有理数,

是有理数,分母为正有理数,又有理数集对于除法的具有封闭性,

必为有理数,∴cosA是有理数。

(2)①当时,显然cosA是有理数;

时,∵,因为cosA是有理数, ∴也是有理数;

②假设当时,结论成立,即coskA、均是有理数。

时,

解得:

∵cosA,均是有理数,∴是有理数,

是有理数。

即当时,结论成立。

综上所述,对于任意正整数n,cosnA是有理数。

(方法二)证明:(1)由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知

是有理数。

(2)用数学归纳法证明cosnA和都是有理数。

①当时,由(1)知是有理数,从而有也是有理数。

②假设当时,都是有理数。

时,由

及①和归纳假设,知都是有理数。

即当时,结论成立。

综合①、②可知,对任意正整数n,cosnA是有理数。

知识点

余弦定理的应用数学归纳法的应用
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数,其中是自然对数的底,=2.71828…。

(1)证明:函数在区间上有零点;

(2)求方程根的个数,并说明理由;

(3)若数列满足为常数),,证明:存在常数,使得对于任意,都有

正确答案

见解析。

解析

解:

(1)由,得:,所以函数在区间上有零点。

(2)由(1)得:,由知,,而,则的一个零点,且内有零点,因此至少有两个零点。

解法1:-1,记-1,则.

时,,因此上单调递增,则内至多只有一个零点。有且只有两个零点.所以,方程根的个数为2。

(3)记的正零点为,即.

(i)当时,由,即.而,因此,由此猜测:.下面用数学归纳法证明:①当时,显然成立;

②假设当时,有成立,则当时,由知,,因此,当时,成立.故对任意的成立。

(ii)当时,由(1)知,上单调递增.则,即.从而,即,由此猜测:.下面用数学归纳法证明:

①当时,显然成立;②假设当时,有成立,则当时,由

知,,因此,当时,成立。

故对任意的成立。

综上所述,存在常数,使得对于任意的,都有.

知识点

函数零点的判断和求解数学归纳法的应用
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

21.设数列满足;

(1)当时,求并由此猜测的一个通项公式;

(2)当时,证明对所有的

      (i)  

      (ii)

正确答案

解析

解析已在路上飞奔,马上就到!

知识点

数列与不等式的综合归纳推理数学归纳法的应用
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