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1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知是互相垂直的单位向量,.

(1)若,,试写出;

(2)若,,试写出;

(3)记,求数列的前项和.

正确答案

见解析。

解析

(1)依题意,知=10=9

9= 

(2)依题意,知=5-3 =2

2

2

即    =2

=2+(n-1) 2=2 n

(3)由是互相垂直的单位向量, = +知, =  •( +)=0+1=1。

得    an •2 n =2 n,记数列{an}的前n项和为Sn

则有    Sn=2×9+4×3+6×1+8×+…+2 n,①

Sn=2×3+4×1+6×+8×+…+2(n-1)+ 2 n,②

①-②得,Sn=2[9+3+1++…+]- 2 n

故Sn =

知识点

数列与其它知识的综合问题
1
题型:简答题
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简答题 · 18 分

如果存在常数使得数列满足:若是数列中的一项,则也是数列中的一项,称数列为“兑换数列”,常数是它的“兑换系数”.

(1)若数列:是“兑换系数”为的“兑换数列”,求的值;

(2)若有穷递增数列是“兑换系数”为的“兑换数列”,求证:数列的前项和

(3)已知有穷等差数列的项数是,所有项之和是,试判断数列是否是“兑换数列”?如果是的,给予证明,并用表示它的“兑换系数”;如果不是,说明理由.

正确答案

见解析

解析

(1)因为数列:是“兑换系数”为的“兑换数列”

所以也是该数列的项,且----------1分

-------------------3分

。 -------------------4分

2)不妨设有穷数列的项数为

因为有穷数列是“兑换系数”为的“兑换数列”,

所以也是该数列的项,-------------------5分

又因为数列是递增数列

-------------------6分

-------------------8分

-------------------10分

(3)数列是“兑换数列”。证明如下:[来源:Z_xx_k.Com]

设数列的公差为因为数列是项数为项的有穷等差数列

,则

即对数列中的任意一项

-------------------12分

同理可得:若也成立,

由“兑换数列”的定义可知,数列是 “兑换数列”;-------------------14分

又因为数列所有项之和是,所以,即-------------------18分

知识点

数列与其它知识的综合问题
1
题型:填空题
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填空题 · 5 分

已知数列的前项和为,且对任意,有,则 ();() 。

正确答案

 ,

解析

知识点

数列与其它知识的综合问题
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

某高科技企业研制出一种型号为的精密数控车床,型车床为企业创造的价值逐年减少(以投产一年的年初到下一年的年初为型车床所创造价值的第一年),若第1年型车床创造的价值是250万元,且第1年至第6年,每年A型车床创造的价值减少30万元;从第7年开始,每年型车床创造的价值是上一年价值的50%,现用表示型车床在第年创造的价值。

(1)求数列的通项公式

(2)记为数列的前项的和,,企业经过成本核算,若万元,则继续使用A型车床,否则更换A型车床,试问该企业须在第几年年初更换A型车床?(已知:若正数数列是单调递减数列,则数列也是单调递减数列)。

正确答案

见解析

解析

(1)由题设,知,…,构成首项,公差的等差数列。

)(万元)。                         (3分)

,…,)构成首项,公比的等比数列。

)(万元),                (6分)

于是,)(万元),              (7分)

(2)由(1)知,是单调递减数列,于是,数列也是单调递减数列。

时,单调递减,(万元)。

所以(万元)。

时,,        (9分)

时,(万元);当时,(万元),     (13分)

所以,当时,恒有

故该企业需要在第11年年初更换型车床,             (14分)

知识点

数列与其它知识的综合问题
1
题型: 单选题
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单选题 · 4 分

15.已知农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2005年某地区农民人均收入为3150元(其中工资性收入为1800元,其他收入为1350元),预计该地区自2006年起的5年内,农民的工资性收入将以6 %的年增长率增长,其他收入每年增加160元。根据以上数据,2010年该地区农民人均收入介于   (   )

A4200元~ 4400元

B4400元~ 4600元

C4600元~ 4800元

D4800元~ 5000元

正确答案

B

解析

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知识点

函数模型的选择与应用数列与其它知识的综合问题
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