数列与解析几何的综合
共13题

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数列与解析几何的综合
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题型：简答题

简答题 · 18 分

23.一青蛙从点开始依次水平向右和竖直向上跳动，其落点坐标依次是，(如图所示，坐标以已知条件为准)，表示青蛙从点到点所经过的路程。

（1）若点为抛物线准线上一点，点均在该抛物线上，并且直线经过该抛物线的焦点，证明；

（2）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,试写出(请简要说明理由)；

（3）若点要么落在所表示的曲线上，要么落在所表示的曲线上，并且,求数列和的通项公式。

正确答案

（1）设，由于青蛙依次向右向上跳动，

所以，，由抛物线定义知：

（2）依题意，

随着的增大，点无限接近点

横向路程之和无限接近，纵向路程之和无限接近

所以 =

(注：只要能说明横纵坐标的变化趋势，用文字表达也行)

（3）设点，由题意，的坐标满足如下递推关系：

，且

其中，∴，

∴是以为首项，为公比的等比数列，

∴，

即当为偶数时，，

又，

∴当为奇数时，

∴，；

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知识点

等差数列的性质及应用数列的极限数列与解析几何的综合抛物线的标准方程和几何性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．设数列的前项和为，，且对任意正整数,点在直线上.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）是否存在实数，使得数列为等差数列？若存在，求出的值；若不存在，则说明理由。

正确答案

（Ⅰ）由题意可得：

①

时, ②

①─②得，

是首项为，公比为的等比数列，

（Ⅱ）解法一:

若为等差数列，

则成等差数列，

得

又时，，显然成等差数列，

故存在实数，使得数列成等差数列.

解法二:

欲使成等差数列,只须即便可.

故存在实数，使得数列成等差数列.

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知识点

由an与Sn的关系求通项an等差数列的判断与证明数列与解析几何的综合

题型：简答题

简答题 · 12 分

21．已知各项均为正数的数列的前n项和为，且对任意正整数n，点都在直线2x-y-1=0上。

（1）求数列的通项公式；

（2）若，设，求的前n项和。

正确答案

（1）由已知 ①

当时， ②

①-② 得

整理得

又n=1时，得

是首次，公比q=2的等比数列

故

（2）由

得

则

= ①

②

①-②，得

解得

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知识点

由an与Sn的关系求通项an错位相减法求和数列与解析几何的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

4．在函数的图象上有点列，若数列是等差数列，数列是等比数列，则函数的解析式可以为（）

正确答案

解析

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知识点

等差数列与等比数列的综合数列与解析几何的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知数列中，且点在直线上

（1）求数列的通项公式；

（2）若函数求函数的最小值；

（3）设表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

正确答案

相加得：，n≥2

所以。故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立。

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知识点

函数的最值函数恒成立、存在、无解问题由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用数列与解析几何的综合

题型：填空题

填空题 · 5 分

15．设A和B是抛物线上的两个动点,且在A和B处的抛物线切线相互垂直, 已知由及抛物线的顶点所成的三角形重心的轨迹也是一抛物线, 记为．对重复以上过程,又得一抛物线，余类推．设如此得到抛物线的序列为，若抛物线的方程为，经专家计算得

，

．

则=__________。

正确答案

-1

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知识点

等比数列的基本运算等比数列的性质及应用数列与解析几何的综合归纳推理

题型：单选题

单选题 · 5 分

18．设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（）

正确答案

解析

当时,且，

而由,得

所以

而则为该圆在（1，1）处切线的斜率，

又且故.

故选A.

知识点

数列的极限数列与解析几何的综合直线与圆相交的性质

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足：a1＝a(a≠0)，an＋1＝rSn(n∈N*，r∈R，r≠－1)，

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，试判断：对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2是否成等差数列，并证明你的结论。

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知an＋1＝rSn，可得an＋2＝rSn＋1，两式相减可得

an＋2－an＋1＝r(Sn＋1－Sn)＝ran＋1，即an＋2＝(r＋1)an＋1，

又a2＝ra1＝ra，所以

当r＝0时，数列{an}为：a,0，…，0，…；

当r≠0，r≠－1时，由已知a≠0，所以an≠0(n∈N*)，

于是由an＋2＝(r＋1)an＋1，可得，

∴a2，a3，…，an，…成等比数列，

∴当n≥2时，an＝r(r＋1)n－2a.

综上，数列{an}的通项公式为

（2）对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列，证明如下：

当r＝0时，由（1）知，

∴对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列；

当r≠0，r≠－1时，∵Sk＋2＝Sk＋ak＋1＋ak＋2，Sk＋1＝Sk＋ak＋1，

若存在k∈N*，使得Sk＋1，Sk，Sk＋2成等差数列，则Sk＋1＋Sk＋2＝2Sk，

∴2Sk＋2ak＋1＋ak＋2＝2Sk，即ak＋2＝－2ak＋1，

由(1)知，a2，a3，…，an，…的公比r＋1＝－2，于是对于任意的m∈N*，

且m≥2，am＋1＝－2am，从而am＋2＝4am，

∴am＋1＋am＋2＝2am，即am＋1，am，am＋2成等差数列。

综上，对于任意的m∈N*，且m≥2，am＋1，am，am＋2成等差数列。

知识点

数列与解析几何的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知曲线，过C上一点作斜率的直线，交曲线于另一点，再过作斜率为的直线，交曲线C于另一点，…，过作斜率为的直线，交曲线C于另一点…，其中，

（1）求与的关系式；

（2）判断与2的大小关系，并证明你的结论；

（3）求证：.

正确答案

见解析。

解析

（1）由已知过斜率为的直线为

，

直线交曲线C于另一点

所以=

即，≠0，

所以

（2）解：当为奇数时，；当n为偶数时，

因为，

注意到，所以与异号

由于，所以，以此类推，

当时，；

当时，

（3）由于，，

所以≥1（，…）

所以≤

所以≤≤≤…≤

所以≤

知识点

数列与解析几何的综合

题型：简答题

简答题 · 16 分

19.已知数列{}中，点P（，）在直线上，数列{}的通项为，前项和为，且是与2的等差中项；

（Ⅰ）求数列{}、{}的通项公式，；

（Ⅱ）设求满足的最小整数.

正确答案

解析

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知识点

由an与Sn的关系求通项an数列与不等式的综合数列与解析几何的综合

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