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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

函数y=x2-ln x的单调递减区间为(  )

A(-1,1]

B(0,1]

C[1,+∞)

D(0,+∞)

正确答案

B

解析

对函数y=x2-ln x求导,得(x>0),

解得x∈(0,1],因此函数y=x2-ln x的单调递减区间为(0,1],故选B

知识点

利用导数研究函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

设f(x)=ln x+-1,证明:

(1)当x>1时,f(x)<(x-1);

(2)当1<x<3时,

正确答案

见解析

解析

(1)证法一:记g(x)=ln x+-1-(x-1),则当x>1时,

又g(1)=0,有g(x)<0,即f(x)<(x-1)。

证法二:由均值不等式,当x>1时,<x+1,故

。①

令k(x)=ln x-x+1,则k(1)=0,k′(x)=-1<0。

故k(x)<0,即ln x<x-1。②

由①②得,当x>1时,f(x)<(x-1)。

(2)证法一:记h(x)=f(x)-

由(1)得

令g(x)=(x+5)3-216x。

则当1<x<3时,g′(x)=3(x+5)2-216<0,

因此g(x)在(1,3)内是递减函数。

又由g(1)=0,得g(x)<0,

所以h′(x)<0,

因此h(x)在(1,3)内是递减函数。

又h(1)=0,得h(x)<0。

于是当1<x<3时,

证法二:记h(x)=(x+5)f(x)-9(x-1),

则当1<x<3时,由(1)得

h′(x)=f(x)+(x+5)f′(x)-9

(x-1)+(x+5)()-9

[3x(x-1)+(x+5)(2+)-18x]

[3x(x-1)+(x+5)(2+)-18x]

(7x2-32x+25)<0,

因此h(x)在(1,3)内单调递减。

又h(1)=0,所以h(x)<0,即

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数证明不等式
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

π为圆周率,e=2.71828…为自然对数的底数。

(1)求函数f(x)=的单调区间;

(2)求e3,3e,eπ,πe,3π,π3这6个数中的最大数与最小数。

正确答案

见解析。

解析

(1)函数f(x)的定义域为(0,+∞)。

由f(x)得

当f'(x)>0,即0<x<e时,f(x)单调递增;当f'(x)<0,即x>e时,f(x)单调递减,

所以函数f(x)的单调递增区间为(0,e),单调递减区间为(e,+∞)。

(2)∵e<3<π,∴eln3<elnπ,πlne<πln3,

从而有ln3e<lnπe,lneπ<ln3π

于是,根据函数y=lnx,y=ex,y=πx在定义域上单调递增,

可得3e<πe<π3,e3<eπ<3π

∴这6个数的最大数在π3与3π之中,最小数在3e与e3之中。

由(1)知,f(x)=在[e,+∞)上单调递减,

综上可知,6个数中的最大数是3π,最小数是3e

知识点

利用导数研究函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

.

(1)如果处取得最小值,求的解析式;

(2)如果的单调递减区间的长度是正整数,试求的值,(注:区间的长度为

正确答案

(1)  (2) m=2,n=3或,

解析

(1)已知

处取极值,

,又在处取最小值-5.

(2)要使单调递减,则

又递减区间长度是正整数,所以两根设做a,b。即有:

b-a为区间长度。又

又b-a为正整数,且m+n<10,所以m=2,n=3或,符合。

知识点

函数解析式的求解及常用方法利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数

(1)设函数F(x)=18f(x)-x2[h(x)]2,求F(x)的单调区间与极值;

(2)设,解关于x的方程

(3)设,证明:

正确答案

见解析

解析

(1)

,得舍去)。

时。;当时,

故当时,为增函数;当时,为减函数。

的极大值点,且

(2)方法一:原方程可化为

即为,且

①当时,,则,即

,此时,∵

此时方程仅有一解

②当时,,由,得

,则,方程有两解

时,则,方程有一解

,原方程无解。

方法二:原方程可化为

①当时,原方程有一解

②当时,原方程有二解

③当时,原方程有一解

④当时,原方程无解。

(3)由已知得

设数列的前n项和为,且

从而有,当时,

即对任意时,有,又因为,所以

,故原不等式成立。

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值利用导数证明不等式
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

观察,由归纳推理可得:若定义在上的函数满足,记的导函数,则=

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由给出的例子可以归纳推理得出:若函数是偶函数,则它的导函数是奇函数,因为定义在上的函数满足,即函数是偶函数,所以它的导函数是奇函数,即有=,故选D。

知识点

利用导数研究函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知函数f(x)=ex(ax+b)-x2-4x,曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y=4x+4.

(1)求a,b的值;

(2)讨论f(x)的单调性,并求f(x)的极大值。

正确答案

见解析

解析

(1)f′(x)=ex(ax+a+b)-2x-4.

由已知得f(0)=4,f′(0)=4.

故b=4,a+b=8.

从而a=4,b=4.

(2)由(1)知,f(x)=4ex(x+1)-x2-4x,

f′(x)=4ex(x+2)-2x-4=4(x+2)·.

令f′(x)=0得,x=-ln 2或x=-2.

从而当x∈(-∞,-2)∪(-ln 2,+∞)时,f′(x)>0;

当x∈(-2,-ln 2)时,f′(x)<0.

故f(x)在(-∞,-2),(-ln 2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln 2)上单调递减。

当x=-2时,函数f(x)取得极大值,极大值为f(-2)=4(1-e-2)。

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的极值
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

若函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)单调递增,则k的取值范围是(  )

A(﹣∞,﹣2]

B(﹣∞,﹣1]

C[2,+∞)

D[1,+∞)

正确答案

D

解析

函数f(x)=kx﹣lnx在区间(1,+∞)单调递增,

∴当x>1时,f′(x)=k﹣≥0,∴k﹣1≥0,∴k≥1,故选:D

知识点

利用导数研究函数的单调性
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

设函数,其中为实数。

(1)若上是单调减函数,且上有最小值,求的取值范围;

(2)若上是单调增函数,试求的零点个数,并证明你的结论。

正确答案

见解析

解析

(1)≤0在上恒成立,则, 

故:≥1。

若1≤≤e,则≥0在上恒成立,

此时,上是单调增函数,无最小值,不合;

>e,则上是单调减函数,在上是单调增函数,,满足。

的取值范围为:>e。

(2)≥0在上恒成立,则≤ex

知识点

利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值
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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知函数

(1) 求的单调区间;

(2) 求在区间上的最小值。

正确答案

(2)  (2)

解析

(1),得

的变化时,的变化情况如下表:

所以,的单调递减区间是();单调递增区间是

(2)当,即时,函数在[0,1]上单调递增,

所以在区间[0,1]上的最小值为

时,

由(1)知上单调递减,在上单调递增,所以在区间

[0,1]上的最小值为

时,函数在区间[0,1]上单调递减,

所以在区间[0,1]上的最小值为

知识点

利用导数研究函数的单调性
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