2015年高考真题 文科数学 (湖南卷)
精品
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单选题 本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的4个选项中,有且只有一项是符合题目要求。
1
题型: 单选题
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分值: 5分

1.已知(i为虚数单位),则复数z=.

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意得,,故选D选项。

考查方向

本题主要考察复数的四则运算,意在考察考生的运算求解能力。

解题思路

直接根据复数的运算法则求解既可。

易错点

在计算上失误丢分。

知识点

复数的基本概念复数代数形式的混合运算
1
题型: 单选题
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分值: 5分

2.在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:分钟)的茎叶图如图1所示

 图1

若将运动员按成绩由好到差编为1-35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是

A3

B4

C5

D6

正确答案

B

解析

由茎叶图可知,在区间的人数为,再由系统抽样的性质可知人数为人,故选B选项。

考查方向

本题主要考察系统抽样和茎叶图等知识,意在考察考生处理数据的能力。

解题思路

先确定区间的人数为,后利用系统抽样的公式求解即可。

易错点

不明白系统抽样的抽样过程导致出错。

知识点

茎叶图
1
题型: 单选题
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分值: 5分

3.设则“”是“”的

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

正确答案

C

解析

即为,所以,所以“”是“”的充分必要条件,故选C选项。

考查方向

本题主要考察充分必要条件的知识,意在考察考生的逻辑推理能力。

解题思路

先解不等式得到前后范围相同,后即可得到答案。

易错点

不会解不等式导致出错。

知识点

充要条件的判定
1
题型: 单选题
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分值: 5分

6.若双曲线的一条渐近线经过点(3,-4),则双曲线的离心率为

A

B

C

D

正确答案

D

解析

由题意得,所以,所以,故选D选项。

考查方向

本题主要考察双曲线的性质,意在考察考生的运算求解能力。

解题思路

直接根据题意得到a,b,c之间的关系即可得到答案。

易错点

弄错渐近线方程导致结果出错。

知识点

双曲线的几何性质
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

7.若实数满足的最小值为

A

B2

C2

D4

正确答案

C

解析

,所以,当且仅当b=2a时取等号,所以ab的最小值为,故选C选项。

考查方向

本题主要考察基本不等式求最值,意在考察考生的转化能力。

解题思路

根据得到,然后利用基本不等式得到,求出ab的最小值即可。

易错点

不会利用基本不等式得到

知识点

基本不等式的实际应用不等式的综合应用
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

8.设函数

A奇函数,在(0,1)上是增函数

BB.奇函数,在(0,1)上是减函数

C.偶函数,在(0,1)上是增函数

D.偶函数,在(0,1)上是减函数

正确答案

A

解析

显然,f(x)的定义域为(-1,1),关于原点对称,又为奇函数,显然,f(x)在(0,1)上单调递增,故选A.

考查方向

本题主要考察函数的单调性和奇偶性等知识,意在考察考生对于函数性质的理解。.

解题思路

分求函数的定义域后发现其关于原点对称,后利用奇偶性的定义得到其为奇函数,最后利用奇函数在对称的区间上单调性相同,得到其单调性。

易错点

对于函数的性质不理解导致出错。

知识点

函数的单调性及单调区间函数奇偶性的判断利用导数研究函数的单调性
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

4.若变量满足约束条件,则的最小值为

A-1

B0

C1

D2

正确答案

A

解析

画出可行域如图三角形所示,由图可知,最优解为A,易知点A(0,1),所以在点A处取得最小值为-1,故选A选项。

考查方向

本题主要考察线性规划的知识,意在考察考生的树形结合的能力。

解题思路

先画出可行域,然后将目标函数平移即可得到答案。

易错点

可行域画错导致结果出错。

知识点

求线性目标函数的最值
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

5.执行如图1所示的程序框图,如果输入,则输出的(    )

A

B

C

D

正确答案

B

考查方向

本题主要考察程序框图和裂项相消法求数列的和等知识,意在考察考生对于程序框图的理解和数列求和的知识。

易错点

1. 不清楚循环结束的条件导致出错;

知识点

程序框图
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

9.已知点A,B,C在圆上运动,且AB,若点P的坐标为(2,0)则

最大值为

A6

B7

C8

D9

正确答案

B

解析

由题意得,AC为圆的直径,故可设,∴,而,∴的最大值为,故选B选项。

考查方向

本题主要考察圆的性质和平面向量数量积等知识,意在考察考生的数形结合能力和转化与划归的能力。

解题思路

先由题意得到AC为圆的直径,后设出所需要点的坐标后把所求的结果表示成函数的形式后求其最值即可。

易错点

1.不会转化题中的条件;2.不会利用坐标法解决问题。

知识点

向量在几何中的应用圆的标准方程
1
题型: 单选题
|
分值: 5分

10.某工件的三视图如图3所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的正方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件的材料利用率为(材料利用率=

A

B

C

D

正确答案

A

解析

分析题意可知,问题等价于圆锥的内接长方体的体积的最大值,设长方体体的长、宽、高分别为x  、y、h,长方体上底面截圆锥的截面半径为a,则x2+y2=(2a)2=4a2,如下图所示,则可以,而长方体的体积,当且仅当时,等号成立,此时利用率为,故选A。

考查方向

本题主要考察圆锥的内接长方体和基本不等式求最值等知识,意在考察考生的空间想象能力和转化与划归的能力。

解题思路

1.先根据三视图得到原来的几何体为圆锥,后得到x2+y2=(2a)2=4a2,2.然后将长方体的体积表示为关于a的函数后利用基本不等式求最值即可。

易错点

1.找不到题中给出的关系式 x2+y2=(2a)2=4a2;2.不会利用基本不等式求最值。

知识点

由三视图还原实物图
填空题 本大题共5小题,每小题5分,共25分。把答案填写在题中横线上。
1
题型:填空题
|
分值: 5分

12.在直角坐标系中,以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系。若曲线C的极坐标为,则曲线C的直角坐标方程为        .

正确答案

解析

由极坐标方程得,化为直角坐标方程为,即

考查方向

本题主要考察极坐标和直角坐标的互化,意在考察考生的转化与划归能力。

解题思路

先将极坐标方程两边同乘以后直接利用互化公式即可。

易错点

极坐标和直角坐标的互化公式记不住出错。

知识点

平面直角坐标系与曲线方程参数方程化成普通方程
1
题型:填空题
|
分值: 5分

11.已知集合,则        .

正确答案

{1,2,3}

解析

由题意得,,所以{1,2,3}  。

考查方向

本题主要考察集合间的运算,意在考察考生对于基础知识的掌握程度。

解题思路

先求出,然后即可求出{1,2,3}  。

易错点

马虎出错。

知识点

交、并、补集的混合运算
1
题型:填空题
|
分值: 5分

14.若函数有两个零点,则实数b的取值范围是       。

正确答案

(-2,+∞)

考查方向

本题主要考察函数与方程的知识,意在考察考生的数形结合能力和转化与划归的能力。

易错点

1.不注意指数函数的有界性导致出错;

知识点

函数零点的判断和求解二次函数的零点问题
1
题型:填空题
|
分值: 5分

15.已知,在函数的图像的交点中,距离最短的两个交点的距离为,则        .

正确答案

解析

由题根据三角函数图像和性质可得交点坐标为,距离最短的两个交点一定爱同一个周期内,所以,所以

考查方向

本题主要考察三角函数的图像和性质等知识,意在考察考生的分析问题和解决问题的能力。

解题思路

由题奋进三角函数的周期性求得两个函数的交点坐标,根据距离最短的两个交点一定在同一个周期,结合勾股定理不难得到

易错点

不能理解题中给出的条件导致没有办法入手解决。

知识点

正弦函数的图象
1
题型:填空题
|
分值: 5分

13.若直线与圆)相交于A,B两点,且(O为坐标原点),则         .

正确答案

2

解析

得圆心(0,0)到直线的距离为,所以,所以

考查方向

本题主要考察直线与圆的位置关系等问题,意在考察考生的数形结合能力。

解题思路

先求出圆心到直线的距离后利用点到直线的距离公式即可。

易错点

不知道题中给出的120度如何转换导致出错。

知识点

点到直线的距离公式直线与圆的位置关系直线和圆的方程的应用
简答题(综合题) 本大题共75分。简答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
1
题型:简答题
|
分值: 12分

某商场举行有奖促销活动,顾客购买一定金额的商品后即可抽奖,抽奖方法是,从装有2个红球和一个白球B的甲箱与装有2个红球和两个白球的乙箱中,各随机摸出一个球,若摸出的2个球都是红球则中奖,否则不中奖。

16.用球的标号列出所有可能的摸出结果;

17.有人认为:两个箱子中中的红球比白球多,所以中奖的概率大于不中奖的概率,你认为正确吗?请说明理由。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

所有可能的摸出结果为

解析

见答案

考查方向

本题主要考察古典概型的概率求法,意在考察考生的逻辑推理能力。

解题思路

先列举出所有可能的结果后利用古典概型的概率公式求解即可。

易错点

所有可能的摸出结果多列或少列导致出错;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

不正确,理由如下:

由(1)知,所以可能的摸出结果有12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为共四种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为,故这种说法不正确。

解析

不正确,理由如下:

由(1)知,所以可能的摸出结果有12种,其中摸出的2个球都是红球的结果为共四种,所以中奖的概率为,不中奖的概率为,故这种说法不正确。

考查方向

本题主要考察古典概型的概率求法,意在考察考生的逻辑推理能力。

解题思路

先列举出所有可能的结果后利用古典概型的概率公式求解即可。

易错点

所有可能的摸出结果多列或少列导致出错;

1
题型:简答题
|
分值: 12分

如图4,直三棱柱ABC-ABC的底面是边长为2的正三角形,E,F分别是BC,CC的中点.

20.证明:平面AEF⊥平面BBCC;

21.若直线AC与平面AABB所成的角为45,求三棱锥F-AEC的体积。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

如图,因为三棱柱是直三棱柱,

所以,又E是正三角形的边BC的中点,所以因此,而,

所以.

解析

见答案

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识,意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

先证明得到,由面面垂直的判断定理得到.

易错点

不会证明进而由面面垂直的判断定理得到.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

设AB的中点为D,连接,因为是正三角形,所以,又三棱柱是直三棱柱,所以,因此CD平面,于是是直线与平面所成的角,

由题设知,

所以,,

中,,所以

故三棱锥F-AEC的体积.

考查方向

本题主要考察几何体的体积和面面垂直的判断和性质等知识,意在考察考生的空间向量能力和逻辑推理能力。

解题思路

设AB的中点为D,证明是直线与平面所成的角,

由题设知,求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积。.

易错点

找不到直线与平面所成的角;

1
题型:简答题
|
分值: 13分

设数列{}的前n项和为,已知=1,,且=.

22.证明:=3

23.求S

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

(1)由条件,对任意,有

因而对任意,有

两式相减,得,即

,所以

故对一切

解析

见答案

考查方向

本题主要考察数列递推关系,数列求和等知识,意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

,有

两式相减,得,即,然后验证当时,命题成立即可;

易错点

不说明当n=1的情况导致丢分;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

由(1)知,,所以,于是数列是首项为1,公比为3的等比数列,数列是首项是2,公比为3的等比数列,所以

于是,从而

综上所述,

考查方向

本题主要考察数列递推关系,数列求和等知识,意在考察考生的逻辑推理能力和分类整合的能力。

解题思路

通过求数列的奇数项和偶数项的和即可得到其对应的前n项和的通项公式。

易错点

不会分类求和,或不知道该如何求和。

1
题型:简答题
|
分值: 12分

设△ABC的内角A,B,C的对边分别为.

18.证明:;

19.若 ,且B为钝角,求A,B,C.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

及正弦定理得,所以

解析

见答案

考查方向

本题主要考察正弦定理及其应用,意在考察考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

由题及正弦定理得可得

易错点

不会想到切割化弦;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

,,.

解析

因为,所以,

由(1)知,因此,又B为钝角,所以

,由,从而

综上所述,,,.

考查方向

本题主要考察正弦定理及其应用,意在考察考生的运算求解能力和转化能力。

解题思路

由两角和与差的公式化简得,结合(1)得,又B为钝角,所以求出角,进而可以求出角A,C。

易错点

做第(2)问时联系不上第(1)问的结论。

1
题型:简答题
|
分值: 13分

已知抛物线C的焦点F也是椭圆C;的一个焦点,C与C的公共弦的长为2,过点F的直线与C相交于A,B两点,与C相交于C,D两点,且同向。

24.求C的方程

25.若|AC|=||求直线的斜率。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

:知其焦点F的坐标为(0,1),因为F也是椭圆的一焦点,

所以 1又的公共弦的长为2都关于y轴对称,且的方程为,由此易知的公共点的坐标为(),所以 2,联立1,2得=9,=8,故的方程为  3;

考查方向

本题主要考察椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆位置关系,意在考察考生的综合解决问题的能力。

解题思路

根据已知条件可求得的焦点坐标为,再利用公共弦长为即可求解;

易错点

不会转化题中给出的条件的公共弦的长为2

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

考查方向

本题主要考察椭圆的标准方程及其性质和直线与椭圆位置关系,意在考察考生的综合解决问题的能力。

易错点

1.第(2)问联立方程运算出错;

1
题型:简答题
|
分值: 13分

已知,函数的从小到大的第)个极值点。

27.证明:数列{}是等比数列:

28.若对一切||恒成立,求的取值范围。

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

,由,得,即

而对于,当时,

,即,则

,即,则

因此,在区间上,的符号总相反,于是当时,取得极值,所以,此时,

,易知,而

是常数,

故数列是首项为,公比为的等比数列。

解析

见答案

考查方向

本题主要考察三角函数的性质、导数的运用和恒成立问题,意在考察考生综合解决问题的能力。

解题思路

由题,令,求出函数的极值点,根据等比数列定义即可得到结果;

易错点

字母太多,导致感觉混乱没有思路;

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

解析

对一切恒成立,即恒成立,也即恒成立,

,则,令

时,所以在区间上单调递减;

时,所以在区间上单调递增;

因为,且当时,,所以

因此恒成立,当且仅当,解得,

故实数a的取值范围是

考查方向

本题主要考察三角函数的性质、导数的运用和恒成立问题,意在考察考生综合解决问题的能力。

解题思路

由题问题等价于恒成立问题,设,然后运用导数的知识得到,求得,得到a的取值范围。

易错点

不会构造函数导致没有思路。

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