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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

5.若直线平行,则间的距离为(   )

A

B

C    

D

正确答案

B

解析

因为两直线平行,所以,化简得,解得a=3或a=-1,当a=3时,两条直线重合,舍去,所以a=-1。所以可得:L1:X-Y+6=0,L2:-3X+3Y-2=0取直线L1上的一点,不妨取(0,6),利用点到直线的距离公式求解,所以

考查方向

直线的方程;直线的平行关系

解题思路

利用两条直线平行与斜率的关系即可得出

易错点

直线平行和直线垂直的斜率关系记忆混淆

知识点

两条平行直线间的距离
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知函数.其中.

(1)若曲线y=f(x)与y=g(x)在x=1处的切线相互平行,求两平行直线间的距离;

(2)若f(x)≤g(x)-1对任意x>0恒成立,求实数a的值;

(3)当a<0时,对于函数h(x)=f(x)-g(x)+1,记在h(x)图象上任取两点A、B连线的斜率为,若,求a的取值范围.

正确答案

见解析

解析

(1),依题意得:a=2; ……………2分

曲线y=f(x)在x=1处的切线为2x-y-2=0,

曲线y=g(x)在x=1处的切线方程为2x-y-1=0. ……………3分

两直线间的距离为……………4分

(2)令h(x)=f(x)-g(x)+1, ,则

当a≤0时, 注意到x>0, 所以<0, 所以h(x)在(0,+∞)单调递减, ………………5分

又h(1)=0,故0<x<1时,h(x)>0,即f(x)> g(x)-1,与题设矛盾. ……………6分

当a>0时,

,时,

所以h(x)在上是增函数,在上是减函数, ……………8分

∴h(x)≤

因为h(1)=0,又当a≠2时,≠1,不符.

所以a=2.  ……………9分

(3)当a<0时,由(2)知<0,∴h(x)在(0,+∞)上是减函数,

不妨设0<x1≤x2,则|h(x1)-h(x2)|=h(x1)-h(x2),|x1-x2|=x2-x1, ……………10分

∴|h(x1)-h(x2)|≥|x1-x2

等价于h(x1)-h(x2)≥x2-x1,即h(x1)+x1≥h(x2)+x2, ……………11分

令H(x)=h(x)+x=alnx-x2+x+1,H(x)在(0,+∞)上是减函数,

 (x>0), ……………12分

∴-2x2+x+a≤0在x>0时恒成立,∴a≤(2x2-x)min ……………13分

又x>0时, (2x2-x)min=

∴a≤-,又a<0,∴a的取值范围是.  ……………14分

知识点

导数的几何意义利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数求参数的取值范围两条平行直线间的距离
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

14.若点是曲线上任意一点,则点到直线的最小距离为(    )

正确答案

解析

本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点。

解:因为,设点P(x0,y0)(x0>0),则切线的斜率,当切线与y=x-2平行时,点P到直线距离最小,所以,解得x0=1或 (舍去)。当时,y0=1,所以点P(1,1),直线方程化为x-y-2=0,所以距离d=

考查方向

本题主要考查了曲线的切线方程、线线之间的距离等知识点,难度中等,是高考热点之一,考查学生分析问题与转化问题的能力。

易错点

本题必须注意把点线之间的距离转化为两条平行线之间的距离,否则会导致无法求出.

知识点

导数的几何意义两条平行直线间的距离
下一知识点 : 两直线的夹角与到角问题
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