- 机械能守恒定律
- 共8461题
如图所示，间距为l的两条足够长的平行金属导轨与水平面的夹角为θ，导轨光滑且电阻忽略不计。场强为B的条形匀强磁场方向与导轨平面垂直，磁场区域的宽度为d1，间距为d2。两根质量均为m、有效电阻均为R的导体棒a和b放在导轨上，并与导轨垂直（设重力加速度为g）。
（1）若a进入第2个磁场区域时，b以与a同样的速度进入第1个磁场区域，求b穿过第1个磁场区域过程中增加的动能△Ek；
（2）若a进入第2个磁场区域时，b恰好离开第1个磁场区域；此后a离开第2个磁场区域时，b又恰好进入第2个磁场区域。且a、b在任意一个磁场区域或无磁场区域的运动时间均相等。求a穿过第2个磁场区域过程中，两导体棒产生的总焦耳热Q；
（3）对于第（2）问所述的运动情况，求a穿出第k个磁场区域时的速率v。
正确答案
解：（1）a和b不受安培力作用，由机械能守恒知△Ek= mgd1sinθ ①
（2）设导体棒刚进入无磁场区域时的速度为v1，刚离开无磁场区域时的速度为v2，导体棒a克服安培力做功为W
对棒a在磁场区域过程中由动能定理得
同时对棒b在无磁场区域过程中由动能定理得
解得W=mgd1sinθ+mgd2sinθ
因此两棒产生的总焦耳热Q=W=mg(d1+d2)sinθ ④
（3）在无磁场区域根据匀变速直线运动规律v2－v1=gtsinθ ⑤
且平均速度
有磁场区域棒a受到合力F=mgsinθ－BIl ⑦
感应电动势ε=Blv ⑧
感应电流
解得
根据牛顿第二定律，在t到t+△t时间内
则有
解得
联立⑤⑥
由题意得
如图所示，在同一竖直平面内两正对着的相 同半圆光滑轨道，相隔一定的距离，虚线沿竖直方向，一小球能在其间运动。今在最低点与最高点各放一个压力传感器，测试小球对轨道的压力，并通过计算机显示出来，当轨道距离变化时，测得两点压力差与距离x的图象如右图所示。（不计空气阻力，g取10m/s2）求：
（1）小球的质量；
（2）相同半圆光滑轨道的半径；
（3）若小球在最低点B的速度为20m/s，为使小球能沿光滑轨道运动，x的最大值。
正确答案
解：（1）设轨道半径为R，由机械能守恒定律得
在B点
在A点
由①②③式得两点的压力差：
由图象得：截距6mg=6，得m=0.1kg ⑤
（2）由④式可知：因为图线的斜率
所以R=2m⑥
（3）在A点不脱离的条件为
由①⑥⑦三式和题中所给已知条件解得：x=15m⑧。
如图所示，在光滑绝缘水平面上有两个带电小球、，质量分别为3m和m，小球带正电q，小球带负电-2q，开始时两小球相距s0，小球有一个水平向右的初速度v0，小球的初速度为零，若取初始状态下两小球构成的系统的电势能为零，
（1）试证明：当两小球的速度相同时系统的电势能最大，并求出该最大值；
（2）在两小球的间距仍不小于s0的运动过程中，求出系统的电势能与系统的动能的比值的取值范围。
正确答案
解：（1）由于两小球构成的系统合外力为零，设某状态下两小球的速度分别为
所以，系统的动能减小量为
由于系统运动过程中只有电场力做功，所以系统的动能与电势能之和守恒，考虑到系统初状态下电势能为零，故该状态下的电势能可表为
联立①、③两式，得
由④式得：当
即当两小球速度相同时系统的电势能最大，最大值为
（2）由于系统的电势能与动能之和守恒，且初始状态下系统的电势能为零，所以在系统电势能取得最大值时，系统的动能取得最小值，为
由于
所以在两球间距仍不小于的运动过程中，系统的电势能总小于系统的动能。在这过程中两种能量的比值的取值范围为
如图所示，在倾角为30°的光滑斜面上，一劲度系数为k的轻质弹簧一端固定在固定挡板C上，另一端连接一质量为m的物体A，一轻细绳通过定滑轮，一端系在物体A上，另一端有一细绳套，细绳与斜面平行，物体A处于静止状态。现在细绳套上轻轻挂上一个质量也为m的物体B，A将在斜面上做简谐运动。试求：
（1）物体A的最大速度值。
（2）物体B下降到最低点时，细绳对物体B的拉力值。
正确答案
解：（1）未挂物体B时，设弹簧压缩量为
解得：
挂B后A沿斜面向上做加速度减小的加速运动，当A加速度为0时，A速度最大，设此时弹簧伸长量为
当A加速度为0时，B加速度也为0，对于B由平衡条件：
由②③解得：
因x1与x2相等，故在此过程中弹簧弹性势能改变量ΔE=0 ④
设最大速度为v，对于A、B及弹簧组成的系统由机械能守恒得：
将x1、x2代入⑤得：
（2）A做简谐运动的振幅为
A在最高点时，由牛顿第二定律：
B在最低点时，由牛顿第二定律：
解得：
如图所示，以速度v0=12 m/s沿光滑地面滑行的小球，上升到顶部水平的跳板上后由跳板飞出，当跳板高度h为多大时，小球飞行的距离s最大？这个距离是多少？（取g=10 m/s2）
正确答案
解：设物块飞出高台的速度为v，取地面为零势能面，由机械能守恒定律得
物块做平抛运动的过程中有
s=
可见，当h=
这个最大距离为sm=
如图所示，小球A系在细线的一端，线的另一端固定在O点，O点到水平面的距离为h，物块B质量是小球的5倍，置于粗糙的水平面上且位于O点正下方，物块与水平面间的动摩擦因数为μ。现拉动小球使线水平伸直，小球由静止开始释放，运动到最低点时与物块发生正碰（碰撞时间极短），反弹后上升至最高点时到水平面的距离为h/16。小球与物块均视为质点，不计空气阻力，重力加速度为g，求物块在水平面上滑行的时间t。
正确答案
解：设小球的质量为m，运动到最低点与物块碰撞前的速度大小为v1，取小球运动到最低点重力势能为零，根据机械能守恒定律，有
得
设碰撞后小球反弹的速度大小为v1'，同理有
得
设碰后物块的速度大小为v2，取水平向右为正方向，根据动量守恒定律，有mv1=-mv1'+5mv2 ③
得
物块在水平面上滑行所受摩擦力的大小F=5μmg ⑤
设物块在水平面上滑行的时间为t，根据动量定理，有-Ft=0－5mv2 ⑥
得
小球A用不可伸长的轻绳悬于O点，在O点的正下方有一固定的钉子B，OB=d，如图所示。开始时，小球与O在同一水平面处无初速释放，绳长为L。不计轻绳与钉子碰撞时的能量损失，为使球能绕B点做圆周运动，试求d的取值范围。
正确答案
解：由圆周运动的知识可知，当小球以B点为圆心做圆周运动时，到达最高点时向心力由重力提供时速度最小。即mg=m
v0=
取v0所在处的平面为零势能面，对小球由开始运动到v0所在处运用机械能守恒定律可得mg（L－2r）=
又r=L－d
联立方程可解得距离d=
我们不难得到：小球做圆周运动的轨道半径越小，即d越大，小球越容易通过圆周的最高点。综合上述分析，距离d的值范围应为：L>d≥3L/5
从倾角为θ的斜面顶点C处水平抛出一物体，初动能为10 J，物体到达斜面底端B处时，动能变为130 J。不计空气阻力，试求斜面的倾角。
正确答案
解：如图，取过B处的平面为零势能面，由于不考虑空气阻力，由机械能守恒定律得
mgh+
在竖直方向上h=
在△ABC中，tanθ=
由
代入上式得tanθ=
θ=arctan
如图所示半径为R、r（R>r）甲、乙两圆形轨道安置在同一竖直平面内，两轨道之间由一条水平轨道（CD）相连，如小球从离地3R的高处A点由静止释放，可以滑过甲轨道，经过CD段又滑上乙轨道后离开两圆形轨道，小球与CD段间的动摩擦因数为μ，其余各段均光滑。
（1）求小球经过甲圆形轨道的最高点时小球的速度？
（2）为避免出现小球脱离圆形轨道而发生撞轨现象，试设计CD段的长度。
正确答案
解：（1）设小球能通过甲轨道最高点时速度为v1由机械能守恒定律得：
（2）小球在甲轨道上做圆周运动通过最高点的最小速度为
∵
∴小球能通过甲轨道而不撞轨
设CD的长度为x，小球在乙轨道最高点的最小速度为
小球要通过乙轨道最高点，则需满足：
得：x≤
小球到乙轨圆心等高处之前再返回，则需满足：
得：
总结论：CD≤
如图所示，滑块在恒定外力F＝1.5mg的作用下从水平轨道上的A点由静止出发到B点时撤去外力，又沿竖直面内的光滑半圆形轨道运动，且恰好通过轨道最高点C，滑块脱离半圆形轨道后又刚好落到原出发点A，求AB段与滑块间的动摩擦因数。
正确答案
解：设圆周的半径为R，则在C点：mg＝m
离开C点，滑块做平抛运动，则2R＝gt2／2 ② V0t＝sAB ③
由B到C过程，由机械能守恒定律得：mvC2/2+2mgR＝mvB2/2 ④
由A到B运动过程，由动能定理得：
由①②③④⑤式联立得到：
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