热门试卷

∵a，b，c成等差数列，

∴2b=a+c．

平方得a2+c2=4b2-2ac①．

又△ABC的面积为，且∠B=60°，

acsinB=ac×=，可得ac=2②，

∵cosB==，把①②整体代入可得，=解得b2=2，

所以b=，

故答案为：；

①依题意，根据等差数列通项公式，an+an+1=3n-2，

当n＞1时，an+an-1=3n-5，an+1-an-1=3，

即a2n-1（n∈N*）和a2n（n∈N*）都是公差为3的等差数列．

因为a1=0，a2=1，

所以a2n-1=3（n-1），a2n=3n-2，

即an=，k∈N*．

②Sn=2-1×a1+2-2×a2+2-3×a3++2-n+1×an-1+2-n×an2Sn=a1+2-1×a2+2-2×a3++2-n+2×an-1+2-n+1×an，

两式相加得3Sn=2-1（a2+a1）+2-2（a3+a2）++2-n+2（an-1+an-2）+2-n+1（an+an-1）+2-n×an6Sn=（a2+a1）+2-1（a3+a2）++2-n+3（an-1+an-2）+2-n+2（an+an-1）+2-n+1×an

两式相减得：3Sn=1+2-1×3+2-2×3++2-n+2×3-2-n+1×（3n-5）+2-n×an3Sn=1+3×（1-2-n+2）-2-n+1×（3n-5）+2-n×an=4-2-n×（6n+2-an）

Sn=，

所以Sn=，k∈N*．

（1）设数列{bn}的公差为d，由题意得

解得

所以bn=3n-2．

（2）由bn=3n-2，知

Sn=loga（1+1）+loga（1+）++loga（1+）

=loga[（1+1）（1+）（1+）]，logabn+1=loga．

因此要比较Sn与logabn+1的大小，可先比较（1+1）（1+）（1+）与的大小．

取n=1有（1+1）＞，

取n=2有（1+1）（1+）＞，

由此推测（1+1）（1+）（1+）＞．①

若①式成立，则由对数函数性质可断定：

当a＞1时，Sn＞logabn+1．

当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1．

下面用数学归纳法证明①式．

（ⅰ）当n=1时已验证①式成立．

（ⅱ）假设当n=k（k≥1）时，①式成立，即

（1+1）（1+）（1+）＞．

那么，当n=k+1时，

（1+1）（1+）（1+）（1+）＞（1+）

=（3k+2）．

因为[(3k+2)]3-[]3==＞0，

所以（3k+2）＞=．

因而（1+1）（1+）（1+）（1+）＞．

这就是说①式当n=k+1时也成立．

由（ⅰ），（ⅱ）知①式对任何正整数n都成立．

由此证得：

当a＞1时，Sn＞logabn+1．

当0＜a＜1时，Sn＜logabn+1．

（1）∵点（n，Sn）在抛物线y=x2+x上，

∴Sn=n2+n，

当n=1时，a1=S1=2…（1分）

当n≥2时，Sn-1=(n-1)2+(n-1)=n2-n+1，

∴an=Sn-Sn-1=3n-1…（3分）

∴数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，

∴an=3n-1…（4分）

又∵各项都为正数的等比数列{bn}满足b1b3=，b5=，

设等比数列{bn}的公比为q，

∴b2=b1q=，b1q4=…（5分）

解得b1=，q=…（6分）

∴bn=()n…（7分）

（2）由（1）可知Cn=(3n-1)•()n…（8分）

∴Tn=2×+5×()2+…+(3n-3)×()n-1+(3n-1)×()n…①…（9分）

∴Tn=2×()2+5×()3+…+(3n-3)×()n+(3n-1)×()n+1…②…（10分）

②-①知∴Tn=1+3[()2+()3+…+()n]-(3n-1)×()n+1

=1+3×-(3n-1)×()n+1=-3×()n-(3n-1)×()n+1…（12分）

∴Tn=5-…（13分）

（I）∵=，

∴an+12-an2=8（n+1）

∴an2=（an2-an-12）+（an-12-an-22）+…+（a22-a12）+a12=8[n+（n-1）+…+2]+9=（2n+1）2∴an=2n+1．…（5分）

（II）==＜=(-)∴Sn＜[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)＜…（12分）

解（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d，∵差数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}为等比数列，

且b2+S2=12，q=，

∴，即，解得：．

∴an=a1+（n-1）d=3+（n-1）•3=3n，

bn=b1qn-1=1×3n-1=3n-1．

（Ⅱ）Tn=anb1+an-1b2+an-2b3+…+a1bn

=3n•1+3（n-1）•3+3（n-2）•32+…+3×2×3n-2+3•3n-1

=n•3+（n-1）•32+（n-2）•33+…+2•3n-1+3n．

∴3Tn=n•32+(n-1)•33+…+2•3n+3n+1．

∴3Tn-Tn=-3n+32+33+…+3n+3n+1

=（32+33+…+3n+1）-3n

=-3n=-3n-．

∴Tn=-n-．

（1）由等差数列的性质可得a1+a2+a3=3a2=12，

解得a2=4，故数列{an}的公差d=4-2=2，

故数列 {an}的通项公式为an=2+2（n-1）=2n；

（2）由（1）可知bn=3an=32n=9n，

由等比数列的求和公式可得：

数列{bn}的前n项和Sn==(9n-1)