- 等差数列
- 共11217题
已知数列{an}满足：a1+3a2+…+(2n-1)an=(2n-3)•2n+1，数列{bn}的前n项和Sn=2n2+n-2．求数列{an•bn}的前n项和Wn．
正确答案
当n≥2时，(2n-1)•an=(2n-3)•2n+1-（2n-5）•2n=2n（2n-1），
∴an=2n．
∵a1=-4，∴an=
当n≥2时，bn=Sn-Sn-1=4n-1，
∵b1=1，∴bn=
①Wn=-4+[22×7+23×11+…+2n×(4n-1)]，
记s=22×7+23×11+24×15+…+2n×（4n-1），
∴2s=23×7+24×11+…+2n（4n-5）+2n+1（4n-1）②，
①-②得-s=28+4（23+24+…+2n）-2n+1（4n-1）
=28+32（2n-2-1）-2n+1（4n-1）
=-4+2n+1（5-4n），
∴s=4+2n+1（4n-5），
∴Wn=2n+1(4n-5)．
已知数列an中a1=1，点P（an，an+1）在直线y=x+2上，
（1）求数列an的通项公式；
（2）设Sn=
正确答案
解（1）因为点P（an，an+1）在直线y=x+2上，
所以an+1=an+2，
即an+1-an=2，
又因为a1=1，
所以数列an是首项为1，公差为2的等差数列，
从而an=2n-1．
（2）由题有Sn=
则
两式相减得：
所以Sn=3-
已知{an}是首项为1，公差为1的等差数列；若数列{bn}满足b1=1，bn+1=bn+2an．
（1）求{an}的通项公式；
（2）求数列{bn}的通项公式；
（3）求数列{bn}的前n项和Tn．
正确答案
（1）∵{an}是首项为1，公差为1的等差数列，
∴an=1+（n-1）×1=n；
（2）由（1）知，bn+1=bn+2n
∴bn+1-bn=2n
∴n≥2时，bn=b1+(b2-b1)+…+(bn-bn-1)=1+2+…+2n-1=
n=1时，结论也成立
∴bn=2n-1；
（3）数列{bn}的前n项和Tn=（2+22+…+2n）-2n=
在数列{an}中，a1=
正确答案
∵a1=
∵数列{an+1-
∴an+1-
又{lg(an+1-
∴lg(an+1-
即an+1-
由（1）（2）得，an=
等差数列{an}中，a5=9，a3+a9=22．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若在数列{an}的每相邻两项an和an+1之间各插入一个数2n，使之成为新的数列{bn}，Sn为数列{bn}的前n项的和，求S20的值．
正确答案
（Ⅰ）设该等差数列的公差为d，依题意得：
解得：a1=1，d=2（4分）
所以数列an的通项公式为an=2n-1．（6分）
（Ⅱ）依题意得：s20=1+3+5+…+19+21+22+…+210=
已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=
（1）求数列{an}的通项公式
（2）令bn=20-an，试求数列{bn}的前多少项的和最大？
正确答案
（1）当n=1时，有a1=S1=
当n=2时，有a1+a2=
当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0又∵an＞0，∴an-an-1=2，
∴数列{an}是以1为首项，以2为公差的等差数列，
∴an=1+（n-1）×2=2n-1
（2）由于bn=20-an=21-2n，则b1=19，bn-bn-1=-2＜0．
∴{bn}是递减数列，
令
∴n=10，即数列{bn}的前10项和最大．
已知等差数列{an}（n∈N+）中，an+1＞an，a2a9=232，a4+a7=37
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若将数列{an}的项重新组合，得到新数列{bn}，具体方法如下：b1=a1，b2=a2+a3，b3=a4+a5+a6+a7，b4=a8+a9+a10+…a15，…，依此类推，第n项bn由相应的{an}中2n-1项的和组成，求数列{bn-
正确答案
（Ⅰ）由an+1＞an，可得公差d＞0
∵a2a9=232，a4+a7=a2+a9=37
∴a9＞a2
∴
设公差为d，则d=
∴an=a2+3（n-2）=8+3n-6=3n+2…（4分）
（Ⅱ）由题意得：bn=a2n-1+a2n-1+1 +…+a2n-1+2n-1-1，
=（3•2n-1+2）+（3•2n-1+5）+（3•2n-1+8）+…+[3•2n-1+（3•2n-1-1）]
=2n-1×3•2n-1+[2+5+8+…+（3•2n-1-4）+（3•2n-1-1）]…（6分）
而2+5+8+…+（3•2n-1-4）+（3•2n-1+1）是首项为2，公差为3的等差数列的2n-1项的和，
所以2+5+8+…++（3•2n-1-4）+（3•2n-1-1）=2n-1×2+
=3•22n-3+
所以bn=3•22n-2+3•22n-3+
所以bn-
所以Tn=
等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10=30，a20=50．
（1）求数列{an}的通项an；
（2）令bn=2an-10，求数列{bn}的前n项和Tn．
正确答案
解（1）：由题意可得，d=
∴an=a10+（n-10）d=30+2（n-10）=2n+10
（2）bn=2an-10=22n=4n
∴数列{bn}是以4为首项，以4为公比的等比数列
∴Tn=
设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n都有等式
（1）求证Sn= 
（2）求数列{Sn}的通项公式；
（3）记数列{
正确答案
（1）当n=1时，a1=2．
当n≥2时，
an=sn-sn-1=4•
∴Sn=
当n=1时，也符合Sn=
∴Sn=
（2）当n≥2时，
an=Sn-Sn-1=
∴（an+an-1）（an-an-1-2）=0
∵an＞0，
∴an-an-1=2
于是数列{an}是首项为2，
公差为2的等差数列．∴Sn=n×2+
（3）由（2）知
∴Tn=
=1-
等差数列{an}第1项是1，公差是3；等比数列{bn}第1项是1，公比是-2；构造新数列{cn}：a1，a2，b1，a3，a4，b2，a5，a6，b3，a7，a8，b4，…（照此在{an}中每隔两项依次插入{bn}中的一项）．设ck=64，求k的值．
正确答案
由题意知an=1+3（n-1）=3n-2，bn=（-2）n-1（1）假设an=64
∴3n-2=64
∴n=22
∴a22=64
∴由{cn}的排列规律得k=22+10=32
（2）假设bn=64
∴（-2）n-1=64=26∴n-1=6
∴n=7
∴b7=64
∴k=3×7=21
∴k=32或k=21
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