- 等差数列
- 共11217题
已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn=
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列{bn}满足bn=nan，求证：b1+b2+…+bn＜
正确答案
（1）∵Sn=
两式相减可得an=
∵n=1时，a1=S1=
∴数列{an}是以
∴an=
（2）证明：bn=nan=n•(
1
3
)n
令Tn=b1+b2+…+bn，即Tn=1•
1
3
)2+…+n•(
1
3
)n
∴
1
3
)2+2•(
1
3
)3+…+（n-1）•(
1
3
)n+n•(
1
3
)n+1
两式相减可得
1
3
)2+1•(
1
3
)3+…+1•(
1
3
)n-n•(
1
3
)n+1=
1
3
)n+1=
1
3
)n+1
∴Tn=
1
3
)n+1，
∴Tn＜
设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn=nan-n（n-1）（n=1，2，3，…）．
（1）求证：数列{an}为等差数列，并写出an关于n的表达式；
（2）若数列{
正确答案
（Ⅰ）当n≥2时，an=Sn-Sn-1=nan-（n-1）an-1-2（n-1），得an-an-1=2（n=2，3，4，）．
所以数列{an}是以a1=1为首项，2为公差的等差数列．
所以an=2n-1．
（Ⅱ）Tn=
由Tn=
已知数列{an}为等差数列，它的前n项和为Sn，且a3=5，S6=36．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）数列{bn}满足bn=（-3）n•an，求数列{bn}的前n项和Tn．
正确答案
（1）∵{an}为等差数列，设{an}的首项为a1，公差为d，
∵a3=5，S6=36，
∴
∴an=2n-1．
（2）∵bn=（-3）n•an，an=2n-1，
∴
∴
∴Tn=
等差数列{an}的前n项和记为Sn，已知a10=20，S20=410，
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若Sn=115，求以n．
正确答案
（1）∵a10=a1+9d=20（2分），
S20=20a1+
解得 a1=11，d=1．（5分）
∴an =11+（n-1）×1=n=10．（6分）
（2）∵Sn=
化简可得：n2+2l•n-310=0（10分），
解得 n=10．（12分）
三个正数成等差数列，它们的和为15，如果它们分别加上1，3，9，就成为等比数列，求这个三个数．
正确答案
设这三个数为：a-d，a，a+d，
则
解之得
故所求的三个数为3，5，7．
已知等差数列{an}的首项为a，公差为b，且不等式ax2-3x+2＞0的解集为（-∞，1）∪（b，+∞）．
（1）求数列{an}的通项公式及前n项和Sn公式；
（2）若数列{bn}满足bn=an•2n，求数列{bn}的前n项和Tn．
正确答案
（1）∵ax2-3x+2＞0的解集为（-∞，1）∪（b，+∞），根据不等式解集的意义
可知：方程ax2-3x+2=0的两根为x1=1、x2=b．
利用韦达定理不难得出a=1，b=2．
由此知an=1+2（n-1）=2n-1，sn=n2…（6分）
（2）由（1）可得：bn=（2n-1）•2n∴Tn=b1+b2+…+bn=1•2+3•22+…+（2n-1）•2n①
2Tn=1•22+3•23+…+（2n-3）•2n+（2n-1）•2n+1②
由②-①得：Tn=-2（21+22+23+…+2n）+（2n-1）•2n+1+2=-2•
已知数列数列{an}前n项和Sn=-
（Ⅰ）确定常数k并求{an}的通项公式；
（Ⅱ）若bn=9-2an，求数列{
正确答案
（Ⅰ）Sn=-
又k∈N*，所以当n=k时Sn取得最大值为
则Sn=-
当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（-
当n=1时，a1=-
综上，an=-n+
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，bn=9-2an=9-2（-n+
所以
Tn=
所以数列{
已知数列{an}的前n项和Sn=2n2-2n，数列{bn}的前n项和Tn=3-bn．
①求数列{an}和{bn}的通项公式；
②设cn=
正确答案
①由题意得an=Sn-Sn-1=4n-4（n≥2）
而n=1时a1=S1=0也符合上式
∴an=4n-4（n∈N+）
又∵bn=Tn-Tn-1=bn-1-bn，
∴
∴{bn}是公比为
而b1=T1=3-b1，
∴b1=
∴bn=
=3•(
②Cn=
=（n-1）(
1
2
)n，
∴Rn=C1+C2+C3+…+Cn
=(
1
2
)3+3•(
1
2
)4+…+（n-1）•(
1
2
)n
∴
1
2
)3+2•(
1
2
)4+…+（n-2）(
1
2
)n+（n-1）(
1
2
)n+1
∴
1
2
)2+(
1
2
)3+…+(
1
2
)n-（n-1）•(
1
2
)n+1，
∴Rn=1-（n+1）(
1
2
)n．
已知等差数列{an}的公差d不为0，设Sn=a1+a2q+…+anqn-1，Tn=a1-a2q+…+（-1）n-1，q≠0，n∈N*．
（1）若q=1，a1=1，S3=15，求数列{an}的通项公式；
（2）若a1=d，且S1，S2，S3成等比数列，求q的值．
正确答案
（1）由题设，S3=a1+（a1+d）q+（a1+2d）q2，将q=1，a1=1，S3=15，
代入解得d=4，
所以an=4n-3（n∈N*）．
（2）当a1=d，S2=d+2dq，S3=d+2dq+3dq2，
S1，S2，S3成等比数列，
∴S22=S1S2，
即（d+2dq）2=d（d+2dq+3dq2），注意到d≠0，
整理得q=-2．
已知等差数列{an}满足：an+1＞an（n∈N*），a1=1，该数列的前三项分别加上1，1，3后顺次成为等比数列{bn}的前三项．
（Ⅰ）分别求数列{an}，{bn}的通项公式an，bn；
（Ⅱ）设Tn=
正确答案
（Ⅰ）设d、q分别为数列{an}、数列{bn}的公差与公比，a1=1．
由题可知，a1=1，a2=1+d，a3=1+2d，分别加上1，1，3后得2，2，+d，4+2d是等比数列{bn}的前三项，
∴（2+d）2=2（4+2d）⇒d=±2．
∵an+1＞an，
∴d＞0．
∴d=2，
∴an=2n-1（n∈N*）．
由此可得b1=2，b2=4，q=2，
∴bn=2n（n∈N*）．
（Ⅱ）Tn=
∴
①-②，得
∴Tn=1+
∴Tn+
∵(3-
∴(3-
∴Tn+
∴满足条件Tn+
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