热门试卷

解：(1)∵nan-Sn=2n(n-1)，a1=1，

∴n=2时，a2=5，

当n≥2时，，

∴，

即，

∴，

∴数列{an}是首项为1，公差为4的等差数列，

故an=4n-3(n∈N*)。

(2)∵4bn=Sn+n-1+(-1)n(n∈N*)，

∴4bn=2n2-1+(-1)n(n∈N*)，

∴，故，

当n为大于0的偶数时，，

当n为大于1的奇数时，，

①；

②n＞1，且n∈N*时，若n为偶数，

则；

若n为奇数，

则，

∴，

∴。

证明：（Ⅰ），

∴数列{bn}为等差数列。

（Ⅱ）因为，

所以，

原不等式即为证明，

即成立，

用数学归纳法证明如下：

当n=2时，成立，所以n=2时，原不等式成立；

假设当n=k时，成立，

当n=k+1时，

，

所以当n=k+1时，不等式成立；

所以对n∈N*，n≥2，总有成立。

解：（1）∵k=1，

∴，

∴，

即：，

所以，n＞1时，{an}成等差，而a2=2，，

∴，∴。

（2）由题意：，

，

，

，

当n≥5时，由（1）（2）得：，

由（3）（4）得：，

由（1）（3）得：，

由（2）（4）得：，

由（7）（8）知：成等差，成等差；

设公差分别为：d1，d2，

由（5）（6）得：，

，

由（9）（10）得：，

∴{an}（n≥2）成等差，设公差为d，

在（1）（2）中分别取n=4，n=5得：

，即，

，即，

∴，∴。

（Ⅰ）解：由得，

代入，得，

整理，得，

从而有，

，

∴是首项为1，公差为1的等差数列，

∴，

即。

（Ⅱ）证明：，

∴，

，

∴，

∵2n+1<2n+2，

∴。

（1）由程序框图可知：

xn+1=xn+2…（1分）

x1=1，x2=3，x3=5，x4=7…（4分）

∴{xn}是首项为x1=1公差为2的等差数列

∴xn=1+（n-1）2=2n-1

即{xn}的通项公式为xn=2n-1…（7分）

（2）由程序框图可知yn+1=3yn+2…（8分）

∵y1=2，∴y2=8，y3=26，y4=80…（11分）

猜想yn=3n-1，以下为证明…（12分）…

∵yn+1=3yn+2，∴yn+1+1=3（yn+1），

∴{yn+1}是首项为y1+1=3，公比为3

的等比数列，∴yn+1=3n，∴yn=3n-1．…（14分）

解：（Ⅰ）由题意，知，

，

，

∴，

化简，得，

解得：或，

当时，此时，，不合题意，舍去；

当时，代入，得，

∴数列是以为首项，-1为公差的等差数列，

∴。

（Ⅱ）由可得，

∴，即，

∴，

又，

∴数列是以为首项，3为公比的等比数列，

∴，

∴

(Ⅰ)证明：由（n∈N*，且n≥2），且，

故，即（n∈N*，且n≥2），

又，

所以数列{bn}是首项b1=2，公差d=1的等差数列，

其通项公式bn=b1+(n-1)d=2+n-1=n+1；

(Ⅱ)解：由(Ⅰ)，得bn=n+1，即，故an=n(n+1) ，

∴，

故数列的前n项和为

，

由于随着n的增大而增大，

故当n=1时，Sn取得最小值，

又对于任意的正整数n恒有，

故，即m2≤4，解得-2≤m≤2，

∴实数m的取值范围为[-2，2]。

（1）a2=λa1+λ-2=2λ-2，

a3=λa2+λ-2=2λ2-2λ+λ-2=2λ2-λ-2，

∵a1+a3=2a2，

∴1+2λ2-λ-2=2（2λ-2），

得2λ2-5λ+3=0，

解得λ=1或λ=．

当λ=时，

a2=2×-2=1，a1=a2，

故λ=不合题意舍去；

当λ=1时，代入an=λan-1+λ-2可得an-an-1=-1，

∴数列{an}构成首项为a1=1，公差为-1的等差数列，

∴an=-n+2．

（2）由λ=3可得，an=3an-1+3-2，即an=3an-1+1．

∴an+=3an-1+，

∴an+=3(an-1+)，

即bn=3bn-1（n≥2），又b1=a1+=，

∴数列{bn}构成首项为b1=，公比为3的等比数列，

∴bn=×3n-1=，

∴Sn=

=（3n-1）．

设等差数列{an}的公差为d，则an=a1+（n-1）d．

∴bn=()a1+(n-1)d

b1b3=()a1•()a1+2d=()2(a1+d)=b22．

由b1b2b3=，得b23=，

解得b2=．

代入已知条件

整理得

解这个方程组得b1=2，b3=或b1=，b3=2

∴a1=-1，d=2或a1=3，d=-2．

所以，当a1=-1，d=2时

an=a1+（n-1）d=2n-3．

当a1=3，d=-2时

an=a1+（n-1）d=5-2n．